物体的力学平衡静力学
n 1 P
应用平衡条件解题注意(三)源自用一根细线悬挂圆规时,为使其旋转点抬升得最高,应该让圆 规的张角等于 。(假定圆规两臂等长,考虑一个简 单模型,以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍 替代实际中的圆规) 两虚线分别为角平分线和两边中点 的边线。所以O即为重心。则绳子 的延长线过O点。 B
tan tanm
2M m tan M 2 ( M m)
M m 1 tan
二、微元法的应用
在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时,除了采用隔离法外, 对于质量不可忽略的绳子,通常选取长度微元进行研究。
例题:已知原长为ι、劲度系数为κ的弹簧,其线密度为ρ,铅垂悬挂, 求由其自重引起的伸长。
f B N B (mg f P ) f c
1 tg ( ) 1 2 tg 1 2 2 1 tg ( ) tg ( ) 2 tg ( )
B
β α
2 tg ( ) tg ( )
θ
C
tg ( ) 2
A
tg ctg( ) 2
2
3 sin
为什么会伸长?
各部分的伸长是否均匀
x
问题的切入点在哪? 确定研究对象
原长为△x的部分
i F ? ki
受到向下原长为x的那部分重力
F gx
i
ki k
x
x
gx
k 0
x
g
k 0
xx
如图所示,一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球 面上放置一光滑均匀铁链,其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌 面不接触,铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T. 解析:以铁链为研究对象,由于整条铁链的 长度不能忽略不计,所以整条铁链不能看成 质点,要分析铁链的受力情况,须考虑将铁 链分割,使每一小段铁链可以看成质点,分 析每一小段铁链的受力,根据物体的平衡条 件得出整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L的一小段(微元)为 研究对象,其受力分析如图所示.由于该元处 于静止状态,所以受力平衡,在切线方向上 应满足:
例题:如图所示,物块A、B、滚轮C质量均为m。滚轮C由固定在一 起的两个同心圆盘组成,半径分别为2r和r。各接触面处静摩擦 系数均为μ ,求维持系统平衡时, μ最小值为多少? N Nc
何为μ的最小值呢 ?如何理解? 学生最初的感觉不易下手 对轮C有 N C mg T f P 2mg f P 对B物有 N B mg f P NC和NB哪一个大呢?
BC DH DE DH DE 1 1 1 1 tg ctg1 tg2 2 2 21 2 AC 2 AH 2 AH 2 AH 2
1 1 2 arctan 21
拓变:若已知均匀梯子的质量为m,一端靠在光滑的墙上,另一端置于粗糙的 水平地面上,静摩擦系数为μ,一个质量为M的人沿梯子往上爬,为了保证人 的安全,对梯子的放置有什么要求? 切入点在哪里?
(1)求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件; (2)杆保持平衡时,杆上有一点P存在:若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物,
则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意
重量的重物,都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。
分析: (1)杆未挂重物时受力如图
你能否确定R的方 向? 由力的平衡条件及几何关系知 ;R T . 既然杆能保持平衡, 所以应有 tan tan 0 即
T T G cos T
T G cos Lg cos
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切 线向下的拉力大△Tθ,所以整个铁链对 A端的拉力是各段上△Tθ的和,
T T Lg cos g L cos
L cos R
T g L cos gR
(二)刚体转动轴的选定是任意的但必须合理,应使尽量多的
未知力(特别是不需求的)的力矩为零
证明: 木板受力如图所示。 以BC为转动轴, 有平衡条件有:
F3 C F1
例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。
F1 AO3 G OO3 0
所以
OO3 1 F1 G G AO3 3
依据:刚体受三个非平行力作用而处于平衡时,该三力必 共面共点。 P F3 F2 F1
用“反证法”证明依据的正确性 若F3 不在 F1 和F2所决定的平面内,则F1 与 F2 的合力F12 就不可能与 F3 反向; 若F3 不过F1 与F2 的交点 P,则对过P 点的不 与F3 平行的转动轴来说,合力矩必定不为零。
O1 A
O2 G O F2 B
O3
α
分别以AC、AB边为轴则可得到
1 F2 G; 3
所以有
1 F3 G 3
F1 F 2 F3
应用平衡条件解题注意(二)
(三)正确判断受力方向
1、准确确定力的方向 (1)当刚体受三个非平行力处于平衡时,若其中的两个力的方向已知, 则可准确确定第三个力的方向
N E D
为保证人的安全,必须是人爬到梯顶时,梯子仍不会滑到。
M 2M m BD OD 2 M m 2 2 M m 2
N’
(M+m)g f’ C
CB BD cos 2M m tan cot sin 2(M m) CE
Nc 2r mg N rB
NP fP
B
NP
对轮C以O为轴满足 fP f mg 2r / 2 fc c P f 而对整体又必须有
f B fc
fc fP
mg fB mg
这说明 B和地面之间已经到达最大静摩擦力时轮 C与地面之 从结构上可看出 B与C和B与地面之间同时达到最大静摩擦力 间尚未到达最大静摩擦力
即有
α C R O2 2 α R1 O1
θ R 1
B
G2 图
D G1
m tan 1
(3)由于小圆柱受力平衡,所以它所受的三个 力作用:重力G2,大圆柱对它的作用力R1, 地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形.
m tan 1
如图2所示,同样应该有
F O2 B RC
若重物W挂在P、A之间: 当W足够大时,就能使φ>φ0
W2 W1 W
如何计算AP = 由几何关系得 由此解得
? tan (l AP ) tan AP 0
l l 1 tan0 cot 1 0 cot
AP
如图所示,放在水平地面 上的两个圆柱体相互接触 ,大、小圆柱的半径分别 为R和r,大圆柱体上缠有 绳子,现通过绳子对大圆 柱体施加一水平力F,设 各接触处的静摩擦因数都 是μ,为使大圆柱体能翻 过小圆柱体,问μ应满足 什么条件?
tan ( f f ) tan 0 ( m ) N N
利用静摩擦角解题有时会很方便 例题、 如图所示,有一长为l,重为W0匀质杆AB,A端顶在竖直的粗糙墙壁上, 杆端与墙壁的静摩擦系数为μ。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂,绳的另一端
固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态,绳与杆的夹角为θ。
T
R
墙壁对横杆AB 的作用力R 的方向由此得以确定。
G
(2)若n个力平衡,其中的(n-1)个力交于一点且交点已知, 则可准确确定第n个力的方向。 依据:若n个力平衡,且其中的(n-1)个力交于 一点,则第n个力的作用线必过此点。
2
n-1
用反证法证明依据 若第n个力不过此点,则该力对过此点的转 轴的力矩不为零,而其它(n-1)个力对此 转轴的力矩为零,所以该n个力对此转轴的 合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。
tan 0
A
C
f
R φ N
T θ
B
W0
(2)杆挂上重物W时
C D2 D D1 R T
重物挂在何处能使
R A
1、R和N的夹角φ>φ0
2、 R和N的夹角φ≤φ0 作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0 =∠BAD。
0
P
θ
B
W0 W W
又作DP⊥ AB, 所得交点P 即为所求。 若重物W挂在P、B之间: 无论W多大,均有φ≤φ0
F
A
解:
系统的受力情况如图所示.
F
A
(1)由于小圆柱既不滑动,也不滚动, 而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动,故 B、C两处都必定有静摩擦力作用. (2)大圆柱刚离开地面时,它受三个 力作用:拉力F,重力G1,小圆柱对 它的作用力R1.由于这三个力平衡, 所以它们的作用线必相交于一点,这 点就是A点.α角不大于最大摩擦角 m
TQ L TP L mgh 图2 m 又 m L L m 10 所以 TP TQ gh 100 10 2 120 ( N ) L 10
三、摩擦平衡系统的处理 求解有摩擦的物体系统平衡问题,原则上与光滑 系统相似,只是要在接触处加上摩擦力,但由于摩擦 力可以在0到fmax之间取值,往往使问题复杂化。 摩擦平衡问题通常有三类:平衡的判断、求临界 平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡,其它两 类问题可归纳为临界平衡,临界平衡状态的判断又是 求解中需要解决的首要问题。对于多点摩擦,先后滑 动。这类问题中,有多处摩擦,但系统的临界状态只 要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先 达到最大值呢?若不能事先作出确切判断,就必须把 所有可能的情形一一求算,最后选取实际出现的情形。
β
角α越大,A点越高
α
tg ( ) tg tg tg[( ) ] 1 tg ( )tg
O
C
2tg tg ( )
θ
1 tg ( ) 1 2 tg 1 2 2 1 tg ( ) tg ( ) A 2 tg ( )