第 3 章
静力学平衡问题
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程 §3-2 简单的空间力系平衡问题 §3-3 简单的刚体系统平衡问题
§3-4 考虑摩擦时的平衡问题
§3-1 平面力系平衡条件与平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
y F1
O
O
F2
F4
y
F R
MO
FR Fi
i 1
y
4. 联立求解，得
FAB
FAB 54.5 KN
FBC 74.5 KN
FBC
B
30° 30° T1 F
x
FT2
反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
例题 3-7 折杆AB的支承方式如图所示，设有一力矩数
值为M的力偶作用在折杆AB上，求支承处的约束力大小。
Fx 0
Fy 0 M o (F ) 0
独立平衡方程只有三个
上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条件是： 力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上的投影的代 数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象； （2）分析研究对象受力，画受力图； （3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可 能每个方程中只有一个未知量。 （4）求解未知量，分析和讨论计算结果。
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量
的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
q Me A C B F
2a
a 8a
2、静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未 知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学 方法就不能解出所有的未知量。
q F
Me
A C 2a 4a a 4a D B
y
A
30°
30°
B
FAB
30°
B
30° F
x
C
P FBC
FT2
T1
解：1.
取滑轮B 连同销钉作为研究对象。 画出受力图
2.
3. 列出平衡方程：
Fx 0 : FBC cos 300 FAB FT 2 sin 300 0
Fy 0 : FBC sin 300 FT 1 FT 2 cos 300 0
例题 3-1 图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均
不计。试求A和B处的支座约束力。
y q Me
q
Me
A
2a
C a 4a
D
B
A FAx FAy C 2a 4a a D
B x FNB
(a)
(b)
解：
(1)选AB 梁为研究对象。 (2)画受力图如右图所示。
(4) 列平衡方程
Fx 0
FAx 0
A
M1
L
M3
M2
B
L
FB
解：取工件为研究对象、画受力图。 解得 由 Mi=0 FA l M1 M 2 M 3 0
FA FB 200N m
例题 3-9 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,
它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。 问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?
A
y q
Fy 0 FAy q 2a FNB 0
M o (F ) 0 q 2a a M e FNB 4a 0 解得 F 0,
Ax
Me FAy
C 2a 4a a D
B x FNB
FAx
(b)
Me 1 FN B qa , 2 4a Me 3 FAy qa . 2 4a
约束反力方位亦可确定，画受力图。
B B C
F′C
C
M2
M1
A 60
o
M2
60o D
A 60o
60o
D
FD
FD = FC = F M2 = 0.5 a F
Mi = 0
(2)
- 0.5a F + M2 = 0
联立(1)(2)两式得:M1/M2=2
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
FAx ql FAy FP
二、平面一般力系平衡方程的其它形式
y F1
A
F2
F4
y
B
F R =0
M (a)
F3
F5 x (b) x
F 0 M ( F ) 0 M ( F ) 0
x A B
二力矩式 （AB不垂直于x轴）
y F1
F2
F4
y
C B A
F R=0
FAy
FB
三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程
1.平面汇交力系的平衡方程
y y
F4 F5
O
F2 F1
x
FRy
O
FR
F3
FRx
x
FR Fi 0
2 2 Ry
因为
FR FRx F
Fx 0

Fx Fy
2
2
0
Fy 0
平面汇交力系的平衡方程
2.平面力偶系的平衡方程
M
C
a a
1、再以AB梁为研究对象
MA
A B
a
a
FAy
A
q
a
FAx
a
B
F′ By
′ FBx
Fx 0
F 0 M 0
y
FAx FBx 0
FAy qa FBy 0
3a ’ FBy 2a 0 2 3qa M qa M FBy FC 4 2a 4 2a 7qa M FAy M A 3qa2 M 4 2a M A qa
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
方法二：局部
选局部 为研究 对象画 受力图 ，列平 衡方程
局部 检 查 结 果， 验 算
弄清 题意， 标出 已知 量
再选局部 为研究对 象画受力 图，列平 衡方程求 解。
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
B
2-4 物体系统平衡问题
例题 3-11 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此
用铰链A联结，再用铰链B和C固结在两岸桥墩上。每 一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点D和E点。 桥上载荷P=20KN。求A、B、C 三处的约束力。
1m 3m
P
4m
1m
D 4m
A
E
P1
B
10m
P1
C
1m 3m
P
例题 3-10
图a所示铰接横梁。已知荷载q，力偶矩M
和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰B、C 端约束力。
q
A
M
C
a a
B
a
a
2-4 物体系统平衡问题
研究方法 一: 整体到局部
1.取整体为研究对象
MA
FAy
A
q
B
M
C
FAx
a
a
a
a
FC
F 0 F 0
x
FAx 0
FAy FC 2qa 0
约束反力数 m 独立平衡方程数 n 静不定的次数为： k=m-n
m = n m >n
静定问题 静不定问题
二、刚体系统的平衡问题的特点与解法
1. 刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联 系在一起的系统。
q
A
M
C
a a
B
a
a
返回
2.求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤 方法一：整体
弄清 题意， 标出 已知 量 选整体 为研究 对象画 受力图 ，列平 衡方程 局部 选局部为 研究对象 画受力图 ，列平衡 方程求解 。 检 查 结 果， 验 算
C
Hale Waihona Puke i 1n Fix 2 Fiy 2
F
i 1
iy
0
M o M o ( Fi ) 0
M
i 1
n
o
( Fi ) 0
F
i 1
n i 1
n
ix
0
0
F
n i 1
iy
平面一般力系的平衡方程 （基本形式）
M
o
( Fi ) 0
为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为
M A FC 4a 2qa 2a M 0
y
M
A
0
2-4 物体系统平衡问题
q
A B
M
C
a a
a
a
q
M
C
2. BC 梁为研究
F
FBx
x
0
FBx 0
B
FBy
FC
F 0 M 0
y
B
FBy qa Fc 0
a qa M Fc 2a 0 2 qa M 3qa M FC FBy 4 2a 4 2a
M (a)
F3
F5 x (b) x
M M M
(F ) 0 (F ) 0 B ( F ) 0 C
A
三力矩式 (A、B、C三点不共线)
例题 3-4
求图示梁的支座反力。
A
P m a B