即
x 2 y 3z 5 0.
2 平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
Ax By Cz D 0
反之，三元一次方程
Ax By Cz D 0
因此，所求角 .
4
6.4.3 点到平面的距离
设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求
P0到平面的距离.
在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则
n
d | Pr jnP1P0 |
r p P1P0 ( x0 x1, y0 y1, z0 z1)
d | Prjn pr || pr || cos |
练习2 求通过 x轴和点 (4,3,1) 的平面方程.
练习3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面 4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
例2 求过三点 M1(1,0, 1), M2(2,1, 2)和 M3(1,1, 4) 的平面方程.
解 M1M2 (1,1,3)， M1M3 (2,1, 3)，
取
r n M1M2 M1M3
(6, 3,3)，
所求平面方程为
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
且平面过点M0(x0, y0, z0).
z n
M0 M
o
y
下面建立平面有 的方程
设M (x, y, z)是平面 上的任一点
M0M n M0M n 0
z
M0
n
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
M
o
y
平面的点法式方程
x
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0 (6.15)
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
z
cC D 0,
A D, B D, C D. o
y
a
b
cx
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得 x y z 1
a bc
6.4.2 两平面间的夹角
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2
n1
P1
P0
N
|
pr
|
| |
pr nr | pr || nr |
|
pr nr | nr |
|.
由于P1(x1, y1, z1)在平面上, 故 Ax1+By1+Cz1+D = 0
rr p n A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)
= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0 = A x0 By0 Cz0 D 于是得到点到平面距离公式
特殊的：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
(2)
1
//
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
例4 求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角. 解 由两平面夹角的余弦公式得
cos |1 2 (4) （ 2）1（1）| 2
12 (4)2 12 22 （ 2）2 （1）2 2
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
一个平面的法向量有无穷多 个, 它们之间都是相互平行的．
设平面 的一个法向量
n (A, B, C),
x
d
|
Ax0
By0
Cz0
D
| .
A2 B2 C 2
例5 求点P0 (-1,2,3)到平面x+2y-2z-6= 0的距离. 解 由点到平面的距离公式得
|1 (1) 2 2 2 3 6 |
d
12 22 (2)2
=3
练习1 求 过 点 (1,1,1) ， 且 垂 直 于 平 面 x y z 7和3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解这个方程组,得 A 3 D, C 2 D.

5
将这个结果代入到平面方程中,得
3x+2z- 5 = 0.
3 平面的截距式方程
设平面与 x, y, z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、
R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
设平面为 Ax By Cz D 0,
②
表示一平面。
这是因为：
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则 A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的
图形是法向量为 n ( A, B,C) 的平面,此方程称
为平面的一般方程.
平面方程的几种特殊情况：
设 1 : A1 x B1 y C1z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
2
1
n1 ( A1, B1,C1), n2 ( A2 , B2 ,C2 ),
由两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
例3 一平面П过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2), 且平行于y 轴,求其方程.
解 由于所求平面П与y 轴平行, 故其方程的形式
设为Ax+Cz+D=0, 因为点M1 和M2 都在П上, 其坐标 应当满足П的方程,将这两个点的坐标代入到这个方
方程中,得到,
A+C+D=0,
3A-2C+D=0,
z
(1) D = 0, 平面通过坐标原点；
(2) A = 0, 平面平行于x 轴；
(3) A = B = 0, 平面平行于xoy 面或垂
直于z 轴；
(4) A = D = 0, 平面通过x 轴.
z
z
o
y
x
Ax+By+Cz = 0
z
o
y
x
Cz +D = 0
o
y
x
By+Cz = 0
o
y
x
By+Cz+D = 0
平面 上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的 方程, 而当点M (x, y, z) 不在平面 上时, 点M (x, y, z)
的坐标不满足该方程．
例1 设一平面过点M0(1, 0, –2)平面的法向量为
r n
(1,
2,
3),
求此平面方程.
解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为
(x 1) 2( y 0) 3(z 2) 0,