线面角与面面角复习讲义
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。

若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。

作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。

若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二、例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．
(1)求证：AC1⊥平面A1BD．
(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．
解： (1)连AC，
∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．
又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．
同理AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．
(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．
连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ∆
中，122
AC ME a ==，
BE ==
，∴tan 2ME MBE BE ∠==．
例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，
使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．
（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；
（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．
证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．
∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，
即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，
由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．
（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．
∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．
△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．
又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，
由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形． 设1BC =
，则CE =，12DE =
，1
cos DE CED CE ∠===．
例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．
(1)求证：1BE EB =；
(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，
∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．
取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．
∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，
得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．
∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是 ，BE ＝FG ．
∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．
解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．
∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，
∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．
∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，
由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．
说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．
三、作业：
1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为
（A ）
A ．有最小值θ，有最大值2π
B ．无最小值，有最大值2π。

C ．有最小值θ，无最大值
D ．有最小值θ，有最大值π-θ。

2．下列命题中正确的是 （D ）
A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A ）
A ．30
B ．20
C ．15
D ．12
4．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是
（C ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.
7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．
解 过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足，
∴AH 2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，
∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD
∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心，
连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，
223333DH DF a a ==⨯=，在Rt △ADH 中，
8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．
求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．
证明 如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC ＝90°．∴BC ⊥AB ． ∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF ⊥CD （三垂线定理）． ∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ．
（2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD 面BCD ．∴面AEF ⊥面BCD ．
（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面
又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD∩CD＝D ∴AF ⊥平面DBC ，。