n e i1 k 1 l1
n n
nn
1 e e =
jlti i
jltk k
n i1 l 1
k 1 l 1
nn
f (ti tk )i k 0
i1 k 1
非负定
（2）
f
(t)
e jt (1 e jnt ) n(1 e jt )
= e jt (1 e jt )(1 e jt e2 jt e(n1)tj )
n(1 e jt )
= 1 n e jtk
n k 1
P{xk
k}
1 n
（ k 0, 2,n ）
6、证函数 f (t) 1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
1 t2
nn
解 （1）
f (ti tk )i k
i1 k 1
5
= n i1
n
i k
k 1 1 (ti tk )2
＝
exp[
1 2
(t12
(t1
t2 )2
t22 ]
2}
13、设（X1，X2，X3）服从三维正态分布 N（0，B），其中协方差矩阵为 B=（ ） ld 33, ，且
11 22 33 2. 试求 。
解
E
[(
X
2 1
2 )( X
2 2
2 )( X
2 3
2 )]
＝
E[
X 12
X
2 2
X
2 3
]
E[
X
k 0
= p (q e jt ) k
k 0
p 1 qe jt
又 E ( X )
kpq k
k 0
p kq k
k 0
p
q p2
q p
D(X ) E(X 2) [E(X )]2 q P2
（其中 nxn (n 1)xn xn ）
n0
n0
n0
令 S(x) (n 1)xn n0
则
Байду номын сангаас
X Y ( p1 p2 ,b)
9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为
p( x,
y)
1 4
[1
xy ( x 2
y2
)],
1
x,
y
1
0, 其他
求其特征函数。
解
f ( t1 , t 2 ) E {e j ( t1 x t2 y ) }
7
11
＝
e
j (1
x t2
y
)
1 4
(1
x3
y
xy3
p( p 1) b2
D(X)
E(X2
)
E2(X)
P b2
（4） 若 Xi (pi,b) i 1, 2 则
fX1X2
(t)
fX1
(t)
fX2
(t)
(1
jt )(P1P2 ) b
Y X1X2 (P1 P2,b)
2
同理可得：
f
Xi
(t )
( b
b
jt
)
Pi
3、设 X 是一随机变量， F(x) 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量
n
jt x k
解
f n (t) E (e Xk
k 1
)
k 1
n
=
E (e jtxk )
k 1
n
=
p
k 1 1 qe jt
= pn (1 qe jt )n
= Cnk pn (q)k e jtk k 0
n
P{ xk n k} Cnk pn (q)k k 1
5、
试证函数
f
(t)
e jt (1 e jt ) n(1 e jt )
3
解 fX1,X2,X3 (t1, t2 , t3 ) exp{ j tk xk } k 1
3
3
＝
e jtk xk
exp{
1 2
tk2 }
k 1
k 1
＝ f (u X1,X2 ,X3 1 u2 , u3 , u4 )
＝
exp{
1 2
[((u1
u
2
)2
u
2 1
u22
)]}
12、设 X1，X 2和X3 相互独立，都服正态分布 N（0， 2），试求：
则 f X ,Y (t1,t2 ) ( pe jt1 q)m ( pe jt2 q)n
fX Y (t) f X (t) fY (t) ( pe jt q)mn X Y b(m n, p)
（2）
f X (t)
(1
jt ) p1 b
f X Y (t) (1
jt )( p1 p2 ) b
F(x) 的特征函数为
fX
(t)
1 0
ejtxdx
ejtx jt
1 0
1 (ejt 1) jt
fY (t ) e jbt f X (at ) e jbt (e jta
1)
1 jat
（2） f Z (t ) E (e jtz ) E[e jt ln F ( x) ]
1
= e j t ln y 1 d y
u ( jt b ) x b p e u u p 1 du
bp
1
( p) 0 (b jt) p
(b jt ) p (1 jt ) p
b
( ( p ) e x x p 1 d x )
0
（2） E(X )
1 j
fX ' (0)
p b
E(X 2)
1 j2
f X '' (0)
} i
k
=
n i 1
n k 1
e jti e jtk
{1
e jti ( e jtk
)(1
e jti e jtk
n(1
e jti e jtk
)
)} i k
n n n
1 j(ti tk ) l
[e ] =
ik
n i1 k 1 l 1
n n n jlti
1 e =
jltk i k
k0
k0
令 S(x) (k 1)2 xk 则 k 0
x
S (t )d t ( k 1) 2 t k d t ( k 1)x k 1 k x k ）
0
k 0
k0
k 1
1
2、（1） 求参数为 ( p,b) 的 分布的特征函数，其概率密度函数为
p(
x)
b (
p
p)
x
e p1 bx
n i1
n i k k1 1 M 2
0
（M
max{
1i, jn
ti
tk } ）
且 f (t) 连续 f (0) 1 f (t) 为特征函数
（2） f (t) 1 1 1 [ 1 1 ]
1 t2 1 ( jt)2 2 1 jt 1 jt
=
1
[
e(
jt1) xdx
e(
jt 1)
x dx]
第一章习题解答
1． 设随机变量 X 服从几何分布，即： P(X k) pqk , k 0,1, 2,。求 X 的特征函
数，EX 及 DX。其中 0 p 1, q 1 p 是已知参数。
解 f X ( t ) E ( e jtx )
e jtk p q k
k 0
p
( q k e jtk )
20
0
1
=
e jtx x dx
2
= e jtx 1 e x dx
2
P(x) 1 e x
2
7 、 设 X1，X 2， X n 相 互 独 立 同 服 从 正 态 分 布 N ( , 2 ) ， 试 求 n 维 随 机 向 量
( X1, X 2, X n ) 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X
f (ti ) exp{
(
jati
1 2
2ti2 )}
i1
i 1
均值向量为 { , ,}
协方差矩阵为 B diag( 2, 2, 2 )
又
6
n
f (t) X
f
(
t n
,
t n
,
t n
)
f
(
t n
)
exp{
jat
1 2n
2t 2
]
i 1
8、设 X．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为 (m, p) 及 (n, p) 分布；（2）分别服
kl cov( X k , Xl )
(k,l 1, 2,3, 4)
E（X1X2X3X4）= 12 34 13 24 2314
11 、 设 X1，X 2和X3 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N（0，1） ， 试 求 随 机 变 量
Y1 X1 X 2和Y2 X1 X 2 组成的随机向量（Y1，Y2）的特征函数。
从参数为 ( p1,b), ( p2, b)的分布 。求 X+Y 的分布。
n
解（1） fX (t)
e jtxk Pk
e
C jtx x n
p
x
q
nx
k
x0
n
= ( peit )xCnxqnx x0
n
= qn ( qpe jt )x Cnx x0
=
qn (1
p q
e
jt )n
= (q pe jt )n
2 1
X
2 2
X
2 1
X
2 3