2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

证明：当12n 0t t t t <<<
<<时，
1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤=
n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,
X(t )-X(0)=x )≤=
n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,
X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)
()(n-)ij ik kj
k I
p p p
l l ∈=
∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

证明：{}
(n)
ij k I
P P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,
X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑
=
{}{}k I
P X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑=(l)(n-l)ik kj
P
P ∑，其意义为n 步转移概率可以
用较低步数的转移概率来表示。

4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,
是一列独立同分布随机变量，且与
{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1
X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。

证明：由条件期望的性质[]{}E X(t)E E X(t)N(t)=⎡⎤⎣⎦，而N (t
)i i =1E X (t )N (t )n E Y
N (t )n ⎡⎤
===⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑
=n i i=1E Y N(t)n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑=n i i=1E Y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∑=1nE(Y )，所以[]{}1E X(t)tE Y λ=。

1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H
X(t)=t T
π⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p
(H )=p (T )=2
，求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。

解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞；
（2）当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12
==
， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0
x<-11
F(x;1)=1x<12x 11
⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

解：设{}N(t),t 0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k -4
(4)P N(2)=k e k!=，则{}{}{}{}{}-4-4-4-4-4
3271P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1+P N(2)=2+P N(2)=3e 4e 8e e e 33
≤==+++
= 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。

设
0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00
0110
11p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，于是(2)0.610.39P PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)
0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦
，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)
00P 0.5749=。

4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。

写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

解：一步转移概率矩阵010111P=333010⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，
111333
(2)271
199911133
3,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，
1
153313
515
1ππππππππππ==⎧⎧⎪⎪
=⇒=⎨⎨⎪⎪++==
⎩⎩112
3221233
方程组
5.设有四个状态{}I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1100221
1002
2
P=11
11444
40
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；
（２）对状态进行分类；
（３）对状态空间I 进行分解。

解：（1）图略；
（2）33303132p 1,p p p =而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C =3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C =01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12C C ，中的状态，而12C C ，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D=2。

（3）状态空间I 可分解为：12E=D C C ⋃⋃。