C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析
∵mn>0，∴
m>0，

n>0
或
m<0， n<0，
当m>0，n>0，且
m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，但m<0，n<0时，
方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反
之，当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn>0，所以
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
性范围 质
对称性
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0， B1(0，－b)，B2(0，b) a) B1(－b,0)，B2(b,0)
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－3 5 3c，
所以|AB|＝ 1＋3·85c－0＝156c.
由S△AF1B＝
1 2
|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝
1 2
16 a·5
3 c·2
＝
2
5
3
a2＝
40 3，解得a＝10，b＝5 3.
抓住2个考点
突破3个考向
椭圆定义的引入
F1
F2
二.讲授新课：
1 .椭圆定义：
M F1 F2
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和等于常 数（大于 | F1F）2 |的点的轨迹叫作椭圆，这 两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距
离叫做椭圆的焦距 ．
注： F1、F2 ——焦点
两定点距离|F1F2 | ——焦距（一般用2c表示） 绳长|MF1|+ |MF2| = 2a
此椭圆的标准方程是
( )．
A.1x62 ＋y72＝1
B.1x62 ＋y72＝1或x72＋1y62 ＝1
C.1x62 ＋2y52 ＝1
D.1x62 ＋2y52 ＝1或2x52 ＋1y62 ＝1
解析 ∵a＝4，e＝34，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程是1x62 ＋y72＝1或x72＋1y62 ＝1.
“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分
条件．
答案 B
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】 已知△ABC的顶点B，C在椭圆x32＋y2＝1上，顶
点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边
上，则△ABC的周长是
( )．
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭 圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4 3.
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
焦点在x轴的椭圆 x2 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
焦点位置的判断方法
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
椭圆
知识要点： 1．考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题． 2．考查椭圆的标准方程及其几何性质，利用椭圆的几何性
质求离心率等问题．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
圆的定义
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称 为圆．
rM A
符合上述定义集合可表示为 p M || MA | r
一、椭圆的定义：
M
几点说明：
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的定点
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？） 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2 5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在
考点梳理
1．椭圆的定义
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两种方法 求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程； (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应 形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程 组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析 设所求的椭圆方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得22ac＝2＝5＋523－，32， 解得a＝4，c＝2，b2＝12. 故所求方程为1x62 ＋1y22 ＝1或1y62 ＋1x22 ＝1. 答案 1x62 ＋1y22 ＝1或1y62 ＋1x22 ＝1
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
答案 2y02 ＋x42＝1
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两 焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆 的一个焦点，则椭圆的方程为________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点] (1)利用△AF1F2是等边三角形建立a，b，c的方 程，再转化为离心率e的方程即可求解； (2)结合第一问中的离心率、已知和本问中的条件△AF1B的 面积为40 3，建立关于a，b的方程组直接求解．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，则a＝2c， 所以e＝12. (2)法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－ 3 (x－ c)，
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距
式
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2

y2 b2
1
a

b

0
ox
F1
y2 a2

x2 b2
1
a

b
0
F(±c，0)
C. 3－1
D．4－2 3
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析 (1)由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2
－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解
得e＝35或e＝－1(舍去)．
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通 过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出 关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元 二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心 率．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练3】 (1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测 1．椭圆1x62 ＋y82＝1的离心率为
( )．
1
1
A.3
B.2
3 C. 3
2 D. 2
解析 由题意知：a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8.
∴c＝2
2，∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
4．(2013·福州模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则
成等差数列，则该椭圆的离心率是
( )．
4
3
A.5
B.5
2
1
C.5
D.5
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)(2013·福州质检)直线y＝－
3
x与椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭
圆的右焦点，则椭圆C的离心率为
( )．
3 A. 2
3－1 B. 2
(1) 在 平 面 内 与 两 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于 |F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
(2) 集 合 P ＝ {M||MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a} ， |F1F2| ＝ 2c ， 其 中 a ＞ 0，c＞0，且a，c为常数： ①若 a＞c ，则集合P为椭圆； ②若 a＝c ，则集合P为线段； ③若 a＜c ，则集合P为空集．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 求椭圆的标准方程 【例2】►(2013·西安模拟)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
[审题考向
揭秘3年高考
解析 法一 椭圆2y52 ＋x92＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即 c＝4.由椭圆的定义知， 2a＝ 3－02＋－ 5＋42＋ 3－02＋－ 5－42， 解得a＝2 5. 由c2＝a2－b2可得b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.