锐角三角函数:知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义:在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA=, ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数【特别提醒:1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA<tanA>】例1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°.第1题图①斜边)(sin =A =______, 斜边)(sin =B =______; ②斜边)(cos =A =______,斜边)(cos =B =______;③的邻边A A ∠=)(tan =______,)(tan 的对边B B ∠==______.例2. 锐角三角函数求值:在Rt △ABC 中,∠C =90°,若a =9,b =12,则c =______,sin A =______,cos A =______,tan A =______, sin B =______,cos B =______,tan B =______.例3.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .典型例题:类型一:直角三角形求值1.已知Rt △ABC 中,,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求:AB 及OC 的长.3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC .4. 已知A ∠是锐角,178sin =A ,求A cos ,A tan 的值对应训练:(西城北)3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若BC =1,AB 5tan A 的值为A 525 C .12D .2 (房山)5.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于( ).A .35B .45C .34D . 43类型二. 利用角度转化求值:1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.DE ∶AE =1∶2.求:sin B 、cos B 、tan B .2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A.12B .32C .35D .453.(2009·孝感中考)如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则sin α=.4.(2009·庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3sin 5A =,则这个菱形的面积=cm 2.5.(2009·齐齐哈尔中考)如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是()A .23B .32 C .34 D .43D C B A Oyx第8题图6. 如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知8AB=,10BC=,AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )A.34B.43C.35D.45A DECBF7. 如图6,在等腰直角三角形ABC∆中,90C∠=︒,6AC=,D为AC上一点,若1tan5DBA∠=,则AD的长为( )A.2 B.2C.1 D.228. 如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DABC图6类型三. 化斜三角形为直角三角形例1(2012•安徽)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.例2.已知:如图,△ABC中,AC=12cm,AB=16cm,⋅=31sin A(1)求AB边上的高CD;(2)求△ABC的面积S;(3)求tan B.例3.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.求:sin∠ABC的值.对应训练1.(2012•重庆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)2.已知:如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sin B.3. ABC中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12 cm2类型四:利用网格构造直角三角形例1 (2012•内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()A.12B.55C.1010D.255对应练习:1.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.CBA2.如图,A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处,若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆,则'tan B 的值为A.41B. 31C.21D.13.正方形网格中,AOB ∠如图放置,则tan AOB ∠的值是()A . 5 5 B. 2 5 5 C.12 D. 2特殊角的三角函数值当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1.求下列各式的值.(昌平)1).计算:︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2.(朝阳)2)计算:︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.(2009·黄石中考)计算:3-1+(2π-1)0-33tan30°-tan45°锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αAB O(石景山)4.计算:30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+.(通县)5.计算:tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒;例2.求适合下列条件的锐角α .(1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α(5)已知α 为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值(6)在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则 ( )A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求:(1)∠BAD ;(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD .3. 已知:如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD =90°,31tan =∠B ,求:sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD .4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,53sin =B ,点D 在BC 边上,DC= AC = 6,求tan ∠BAD 的值.5.(本小题5分)如图,△ABC 中,∠A=30°,3tan B =,43AC =.求AB 的长.DCBAACB解直角三角形:1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =b ,BC =a ,AB =c ,①三边之间的等量关系:________________________________. ②两锐角之间的关系:__________________________________. ③边与角之间的关系:==B A cos sin ______;==B A sin cos _______;==BA tan 1tan _____;==B A tan tan 1______.④直角三角形中成比例的线段(如图所示).在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D .CD 2=_________;AC 2=_________; BC 2=_________;AC ·BC =_________.类型一例1.在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1)已知:a =35,235=c ,求∠A 、∠B ,b ;(2)已知:32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ;(3)已知:32sin =A ,6=c ,求a 、b ;(4)已知:,9,23tan ==b B 求a 、c ;(5)已知:∠A =60°,△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B .例2.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =60°,AC =10cm .求AB 及BC 的长.例3.已知:如图,Rt △ABC 中,∠D =90°,∠B =45°,∠ACD =60°.BC =10cm .求AD 的长.例4.已知:如图,△ABC 中,∠A =30°,∠B =135°,AC =10cm .求AB 及BC 的长.类型二:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角: 例1.(2012•福州)如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( )A . 200米B . 200米C . 220米D . 100()米例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离m 23 DE ,求点B 到地面的垂直距离BC .例3(昌平)19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m . 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长.例4.如图,小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为 1.7米,求这棵树的高度.例5.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m .现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号).例5.(2012•泰安)如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为( )A . 10米B . 10米C . 20米D .米例6.(2012•益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离(AC )为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.(1)求B 、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)A BCD E类型四. 坡度与坡角例.(2012•广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )A .100mB .1003mC .150mD .503m类型五. 方位角1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,732.13 )2.(2012•恩施州)新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船,立即掉头离去.(见图1)解决问题如图2,已知“中国渔政310”船(A )接到陆地指挥中心(B )命令时,渔船(C )位于陆地指挥中心正南方向,位于“中国渔政310”船西南方向,“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB=海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息,请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.综合题:三角函数与四边形:(西城二模)1.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan ∠BDC=63. (1)求BD 的长; (2)求AD 的长.(2011东一)18.如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F .(1)求证:∠BAE =∠DAF ; (2)若AE =4,AF =245,3sin 5BAE ∠=,求CF 的长.三角函数与圆:1. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A .12B 3C .35D .45D C B A OyxCB A(延庆)19.已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径。