锐角三角函数的经典测试题一、选择题1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )A ．asinα+asinβB ．acosα+acosβC ．atanα+atanβD ．tan tan a a αβ+ 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=，500BD m =，55D ∠=，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55mB ．500cos55mC ．500tan55mD ．500cos55m 【答案】B【解析】【分析】根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．【详解】在Rt△BDE中，cosD=DE BD，∴DE=BD•cosD=500cos55°．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．3．在半径为1的O中，弦AB、AC的长度分别是3，2，则BAC∠为（）度．A．75B．15或30C．75或15D．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=3222AE=，．sin∠AOD=32，∴∠AOD=60°；sin∠AOE=22，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.4．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有（）①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm210cm．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】∵菱形ABCD的周长为20cm∴AD=5cm∵sinA=3 5∴DE=3cm（①正确）∴AE=4cm∵AB=5cm∴BE=5﹣4=1cm（②正确）∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）∵DE=3cm,BE=1cm∴BD=10cm（④不正确）所以正确的有三个．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键5．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )A 83B43C．8 D．83【答案】A 【解析】【分析】根据折叠性质可得BE=12AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.【详解】∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，∴BE=12AB=2，∠BEF=90°，∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，∴∠EA′B=30°，∴∠EBA′=60°，∴∠ABM=30°，∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，解得：BM=833，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.6．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC，所以sin∠A＝0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．7．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－53B．20－103C．10－53D．53－5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•ta n60°＝3在Rt △BCN 中，BN ＝AE ＋AM ＝10＋53（米），∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN•tan45°＝10＋53（米），∴CD ＝CN ＋EN−DE ＝10＋53＋5−103＝15−53（米）．故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM ，AM ，CN ，DE 的长是解题的关键．8．如图，ABC ∆是一张顶角是120︒的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3【答案】A【解析】【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可．【详解】解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，BH=12BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=30°，∴AB=30BH cos ︒3 由翻折变换的性质可知，3∴DE=BD •tan30°=1，故选：A ．【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b +++的值为（ ） A ．12 B ．22 C ．1 D ．2【答案】C【解析】【分析】先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin602︒=，cos60°=12,可求13,,22DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°，∴13,,22DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ，∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b ++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，一张直角三角形纸片BEC 的斜边放在矩形ABCD 的BC 边上，恰好完全重合，边BE ，CE 分别交AD 于点F ，G ，已知8BC =，::4:3:1AF FG GD =，则CD 的长为（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】C【解析】【分析】 由ABCD 是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据::4:3:1AF FG GD =，可以求出DG 的长度，再根据余角的性质算出∠DCE 的大小，根据三角函数即可算出DC 的长度.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，∠DCB=90︒，又∵::4:3:1AF FG GD = ∴1114318GD AD AD ===++, ∵∠ECB=60°，∴∠DCE=906030︒-︒=︒， 又∵31tan 303GD CD CD ︒===， ∴3CD =故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=43，⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中，正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；【详解】解：当0<x⩽2时，如图1：连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，∴∠CPB=90°，∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是3，4)，∴BO′3，CO′=4，∴228O B O C'，+'=∵AC=8，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴CP=BC×sin60°=8×32=43，BP=4， BN=4x ，BM=2x ， 242BM x x BP ==，2BN x BC =， ∴=BM BN BP BC， 又∵∠NBM=∠CBP ， ∴△NBM ∽△CBP ，∴∠NMB=∠CPB=90°， ∴114438322CBP S BP CP =⨯⨯=⨯⨯=； ∴2NBMCBP S BN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即y=22283=232NBMCBP BN x S S x BC ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2<x ⩽4时，作NE ⊥AB ，垂足为E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴3BM=2x ，∴y=11=2434322BM NE x x ⨯⨯=； 故选D.【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.13．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）A．4 B．72C．8 D．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），∵点B'在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴﹣asinα=﹣2acosα，得a2sinαcosα=2，又∵点C在反比例函数y=kx的图象上，∴2acosα=k2asinα，得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.14．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12 CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=C ．若AB=4，则47BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =． 【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．15．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(303-50，30) B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC=303海里，∴BC=（303－50）海里，∴B（303－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．16．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD 为（ ）A ．()23 1.6m +B ．()22 1.6m +C ．()43 1.6m +D ．23m【答案】A【解析】 【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°= 6CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°=6CK CK AK =， 解得：3即3（3+1.6）m ．故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.17．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A．﹣3B．﹣23C．﹣33D．﹣43【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B（﹣2,24b ba a-），由△AOB为等边三角形，得到2b4a＝tan60°×（﹣2ba），即可求解；【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，∴c＝0，B（﹣2,24b ba a-），∵△AOB为等边三角形，∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），∴b＝﹣23；故选B．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．18．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－1 2x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】 解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．19．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）A．14B．16C ．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD的值（ ）A ．35B ．34C ．45D ．67【答案】D【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝12AB ，进而可求得AE AD的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠，∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝12AC·h ：12BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ，∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =， ∴AC ：BC ＝3:4，∴AE ：BE ＝3:4∴AE ＝37AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12AB ，∴367172ABAEAD AB==，故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC 是解决本题的关键．。