r y(ci, 0ci,1x
ci, (i1)xni1)eixsin ix
i1
r
(di, 0di,1x
di, (i1)xni1)eixcos ix
i1
3．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
定理3:
设 0 为 yp yq yp m (x)e0x对应的齐
次方程的i ( i 0, 1, 2 )重根，其中，p m ( x )
与p n ( x )分别是次多项式， 0 为常数。
则存在次多项式 q m ( x ) 使非齐次方程 有如下形式的特解：
yxiqm(x)e0x
定理4:
m , n p m ( x )与 p n ( x ) 分别是
次多项式，
0 与0(0 0)为常数，
则 y p y q y e 0 x [ p m ( x ) c o s0 x p n ( x ) s i n 0 x ]
第一章 绪论
1.1 常微分方程基础 1.2 积分方程基础 1.3 场论基本概念 1.4 常用算符与函数 1.5 常用物理规律
1.1 常微分方程基础 一、一阶微分方程
一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:
y f(x, y), p (x,y)d xq (x,y)d y0
1．可分离变量的一阶微分方程
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
y f (x, y)
y
(
x
0
)
y0
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
f(x, y, y, y)0, t (, ) a 1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义10:
设为 y 0 方程 yg(x, y) 的平凡解，
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第一章 绪论 笫二章 定解问题与偏微分方程理论 第三章 分离变量法 第四章 行波法 第五章 积分变换 第六章 Green函数法 第七章 Bessel函数 第八章 Legendre多项式 第九章 保角变换法 第十章 非线性数学物理方程简介
f(x)dxg(y)dy
2．齐次方程
dy f ( y ) dx x
uxuf(u)
3．一阶线性微分方程
yp(x)yq(x)
yep(x)dx q(x)ep(x)dxdxc
4．Bernoulli方程
yp(x)yq(x)yn(n 0, 1)
u ( 1 n )p (x )u ( 1 n )q (x )
二、高阶微分方程 1．可降阶的二阶微分方程
yf(x, y)
yf(y, y)
ppf(y, p)
2．n阶常系数齐次线性微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a 2 ( x ) y ( n 2 ) a n 1 ( x ) y a n ( x ) y 0
定理1
数学物理方程 李明奇 田太心 主编
出 版：电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号，邮编：610054) 责任编辑：徐守铭 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都蜀通印务有限责任公司 开 本：787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425千字 版 次：2006年4月第一版 印 次：2007年8月第二次印刷 书 号：ISBN 9787811140989 印 数：2001—5000册 定 价：28.00元
三、Euler方程
在微分方程中，我们还经常遇到一类 特殊的非常系数非齐次线性微分方 程——Euler方程的求解：
p 0 x n y ( n ) p 1 x n 1 y ( n 1 ) p n 1 x y p n y f ( x )
n
pnkD (D 1) (D k1)yf(et)
k0
四、Bessel方程
定义2 二阶线性微分方程
x2yxy(x22)y0
称为Bessel方程， 为非负常数。
定义4 二阶线性微分方程
x2yxyx2
m122y0
(m为整数)
称为半奇数阶Bessel方程。
定义5 二阶线性微分方程
x2yxy(x22)y0
称为虚宗量Bessel方程。
五、Legendre方程与SturmLiouville方程
定义6 二阶线性微分方程
( 1 x 2 ) y 2 x y n ( n 1 ) y 0 , x [ 1 , 1 ]
称为n阶Legendre方程。
定义7 二阶线性微分方程
d d x k(x)dy d (xx) (x)q(x)y(x)0a≤x≤b
称为SturmLiouville方程。
若 0 ,x 0 I, (,x 0 ) 0 , y 0 ，当
y0 (, x0) 时，对 x x0 ，
有 y(x, x0, y0) ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
的特解为：
y x k e 0 x [p l( x )c o s0 x q l( x )s in0 x ]
定理5:
二阶非齐次线性微分方程
yp yq yf(x)
的特解为
通解为
y y 10 x y (2 y 1 f,(y2 ))dy20 x y (1 y f1 ,(y ) 2)d
y y 10 x y ( 2 y 1 f, ( y 2 ) ) d y 20 x y ( 1 y f 1 , ( y ) 2 ) d C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
, n， ，则 r r nk =n
r
y (ci,0ci,1x
ci, (i 1 )xn i 1)eix
其中，c i , j 为任意常数。
k 1
i 1
（3）若ai (x)R，特征方程有r个不同的复根 1, 2, , r
（ k k ki），其重数分别为 n1, n2, , nr ，所有复 根重数之和为，则
Ly

n
fi (x)
的特解可以通过方程
i 1
L yfi(x),i1 , ,n的特解之和求得。
定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：
（1）特征方程有n个不同的实根 1, 2,
则
y
n
ci ei，x c
i
为任意常数；
i 1
, n ，
（2）特征方程有r个不同的实根 1, 2, , n，其
重数分别为n1, n2,