专题3 锐角三角函数在实际中的应用解题技巧:1.如果图形不是直角三角形,一定要考虑添加适当的辅助线(作平行线或作垂线),构造直角三角形,然后选择恰当的三角函数(正弦、余弦或正切);2.在求线段长度的时候,如果不能直接求出长度,可以考虑列方程求值。
一仰角、俯角问题1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB)是1.7米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量,眼睛与地面的距离(CD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上).(1)求小敏到旗杆的距离DF.(结果保留根号)(2)求旗杆EF的高度.(结果保留整数,参考数据:≈1.4,≈1.7)2.如图所示,某古代文物被探明埋于地下的A处,由于点A上方有一些管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘,从B处挖掘时,最短路线BA与地面所成的锐角是56°,从C处挖掘时,最短路线CA与地面所成的锐角是30°,且BC=20m,若考古人员最终从B处挖掘,求挖掘的最短距离.(参考数据:sin56°=0.83,tan56°≈1.48,≈1.73,结果保留整数)3.(2014潍坊)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.4.一电线杆PQ立在山坡上,从地面的点A看,测得杆顶端点A的仰角为45°,向前走6m 到达点B,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°,(1)求∠BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度.(结果精确到1m)5.如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离,飞机以距海平面垂直同一高度飞行,在点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,已知岛屿两端A、B的距离541.91米,求飞机飞行的高度.(结果精确到1米,参考数据:≈1.73,≈1.41)6. (2015丹东10分)如图,线段AB ,CD 表示甲、乙两幢居民楼的高,两楼间的距离BD 是60米.某人站在A 处测得C 点的俯角为37°,D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计),求乙楼的高度CD .(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710,tan48°≈1110)7.如图,一楼房AB 后有一假山,其斜坡CD 坡比为1:,山坡坡面上点E 处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=6米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得点E 的俯角为45°.(1)求点E 距水平面BC 的高度;(2)求楼房AB 的高.(结果精确到0.1米,参考数据≈1.414,≈1.732)8.如图,某飞机于空中探测某座山的高度,在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米,从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°,飞机继续以相同的高度飞行300米到B处,此时观测目标C的俯角是50°,求这座山的高度CD.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20)9.(2015•荆门)如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值).10.(2015•达州)学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)11.(2015•河南)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)12.(2014•河南)在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°,试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5, 1.7)二坡度、坡角问题13.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAE=45°,坝高BE=20米.汛期来临,为加大水坝的防洪强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡BF的坡角∠F=30°,求AF的长度.(结果精确到1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)1 14.(2014山西)如图,点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度AA′,BB′,CC′分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i1=1∶2,钢缆BC的坡度i2=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)15.(2015•广安)数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i=1:10(即EF:CE=1:10),学生小明站在离升旗台水平距离为35m (即CE=35m)处的C点,测得旗杆顶端B的仰角为α,已知tanα=,升旗台高AF=1m,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度.三方向角问题16.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向.求货船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考数据:≈1.41,≈1.73)17.某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港口60海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处.求该船与B 港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).18.如图,要测量A 点到河岸BC 的距离,在B 点测得A 点在B 点的北偏东30°方向上,在C 点测得A 点在C 点的北偏西45°方向上,又测得BC =150 m .求A 点到河岸BC 的距离.(结果保留整数)(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)19.(2013年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE ,背水坡坡角68BAE ︒∠=,新坝体的高为DE ,背水坡坡角60DCE ∠=︒。
求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC .(结果精确到0.1米,参考数据:sin 680.93,cos 680.37,tan 683 1.73︒︒︒≈≈≈≈)答案1.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:(1)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EF于点N.设CN=x,分别表示出EM、AM的长度,然后在Rt△AEM中,根据tan∠EAM=,代入求解即可;(2)根据(1)求得的结果,可得EF=DF+CD,代入求解.解:(1)过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EF于点N,设CN=x,在Rt△ECN中,∵∠ECN=45°,∴EN=CN=x,∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1,∵BD=5,∴AM=BF=5+x,在Rt△AEM中,∵∠EAM=30°∴=,∴x﹣1=(x+5),解得:x=4+3,即DF=(4+3)(米);(2)由(1)得:EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10(米).答:旗杆的高度约为10米.点评:本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解.考点:解直角三角形的应用.2.分析:作AD⊥BC交CB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度.设AD=x.通过解直角△ABD求得BD=;通过解直角△ACD求得CD=x,由此列出关于x 的方程,通过方程求得AD的长度.最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可.解:作AD⊥BC交CB延长线于点D,线段AD即为文物在地面下的深度.根据题意得∠CAD=30°,∠ABD=56°.设AD=x.在直角△ABD中,∵∠ABD=56°,∴BD==.在直角△ACD中,∵∠ACB=30°,∴CD=AD=x,∴x=+20.解得x≈18.97,∴AB=≈≈23.答:从B处挖掘的最短距离为23米.点评:此题考查了解直角三角形的应用,主要是正切、余弦概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.3.【思路分析】首先,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,易得四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,可得AB=EF,AE=BF.由题意可知,AE=BF=1100-200=900米,CD=1.99×104米,然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中,利用三角函数求得CE与DF的长,继而求得两海岛间的距离AB.解:如解图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F.则四边形ABFE 为矩形,∴AB=EF,AE=BF.由题意可知AE=BF=1100-200=900(米),CD=19900(米).∴在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=900(米),∴CE =AE tan ∠C =AE tan 45°=900(米), 在Rt △BFD 中,∠BDF =60°,BF =900(米),∴DF =BF tan ∠BDF =900tan 60°=3003(米), ∴AB =EF =CD +DF -CE =19900+3003-900=(19000+3003)米.答:两海岛之间的距离AB 是(19000+3003)米.4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:(1)作PQ ⊥AB 交AB 的延长线于H ,根据三角形的外角的性质计算;(2)设PQ=xm ,根据正、余弦的定义表示出QH 、BH ,根据等腰直角三角形的性质列式计算即可.解:(1)作PQ ⊥AB 交AB 的延长线于H , 由题意得,∠QBH=30°,∠PBH=60°,∴∠BQH=60°,∠PBQ=30°,∴∠BPQ=∠BQH ﹣∠PBQ=30°;(2)设PQ=xm ,∵∠BPQ=∠PBQ ,∴BQ=PQ=xm ,∵∠QBH=30°,∴QH=BQ=x ,BH=x ,∵∠A=45°,∴6+x=x x , 解得x=2+6≈9. 答:该电线杆PQ 的高度约为9m .点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F ,设高度为x 米,在Rt △AEC 中可得CE==,在Rt △BFD 中有DF==x ,根据AB=EF=CD+DF ﹣CE 列出方程,解方程可求得x 的值.解:过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F ,设高度为x 米∵AB ∥CD ,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE 为矩形.∴AB=EF ,AE=BF .由题意可知:AE=BF=x 米,CD=500米.在Rt △AEC 中,∠C=60°,∴CE==(米).在Rt △BFD 中,∠BDF=45°,∴DF==x (米).∴AB=EF=CD+DF ﹣CE ,即500+x ﹣x=541.91 解得:x=99答:飞机行飞行的高度是99米.6.【思路分析】本题考查三角函数的实际应用.题中有角度没直角三角形,先考虑过点C 向AB 作垂线CE 构造直角三角形,利用正切分别求得AB 、AE ,最后利用线段和差关系求解即可.解:过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,则四边形EBDC 为矩形,∴BE =CD ,CE =BD =60米.(2分)根据题意可得,∠ADB =48°,∠ACE =37°.在Rt △ADB 中,tan48°=AB BD , 则AB =tan48°·BD ≈1110×60=66(米);(5分)在Rt △ACE 中,tan37°=AE CE , 则AE =tan37°·CE ≈34×60=45(米),(8分) ∴CD =BE =AB -AE =66-45=21(米),∴乙楼的高度CD 为21米.(10分)7.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:(1)过点E 作EF ⊥BC 于点F .在Rt △CEF 中,求出CF=EF ,然后根据勾股定理解答;(2)过点E 作EH ⊥AB 于点H .在Rt △AHE 中,∠HAE=45°,结合(1)中结论得到CF 的值,再根据AB=AH+BH ,求出AB 的值.解:(1)过点E 作EF ⊥BC 于点F .在Rt △CEF 中,CE=20,, ∴EF 2+(EF )2=202, ∵EF >0,∴EF=10.答:点E 距水平面BC 的高度为10米.(2)过点E 作EH ⊥AB 于点H .则HE=BF ,BH=EF .在Rt △AHE 中,∠HAE=45°,∴AH=HE ,由(1)得CF=EF=10(米) 又∵BC=6米,∴HE=6+10米,∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3(米). 答:楼房AB 的高约是33.3米.8. 解:设EC =x ,在Rt △BCE 中,tan ∠EBC =EC BE, 则BE =EC tan ∠EBC =EC tan 50°≈56x (米), 在Rt △ACE 中,tan ∠EAC =EC AE,则AE =EC tan ∠EAC =EC tan 45°=x (米), ∵AB +BE =AE ,∴300+56x =x , 解得:x =1800(米),∴这座山的高度CD =DE -EC =AF -CE =3700-1800=1900(米).答:这座山的高度是1900米.14.【思路分析】对于解直角三角形的实际应用问题,首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解.如解图,过点A 作AE ⊥CC ′于点E ,交BB ′于点F ,过点B 作BD ⊥CC ′于点D .分别在Rt △AFB 和Rt △BDC 中根据坡度求得AF ,BD 的长度,再在Rt △AEC 中,根据勾股定理求得AC 的长度.解:如解图,过点A 作AE ⊥CC ′于点E ,交BB ′于点F ,过点B 作BD ⊥CC ′于点D .则△AFB ,△BDC 和△AEC 都是直角三角形,四边形AA ′B ′F ,BB ′C ′D 和BFED 都是矩形.∴BF =BB ′-FB ′=BB ′-AA ′=310-110=200(米),∴CD =CC ′-DC ′=CC ′-BB ′=710-310=400(米).∵i 1=1∶2,i 2=1∶1,∴AF =2BF =400(米),BD =CD =400(米).又∵FE =BD =400(米),DE =BF =200(米).∴AE =AF +FE =800(米),∴CE =CD +DE =600(米).∴在Rt △AEC 中,AC =AE 2+CE 2=8002+6002=1000(米). 答:钢缆AC 的长度为1000米.16.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.第8题解图分析:由已知可得AB ⊥PQ ,∠QAP=60°,∠A=30°,AP=56海里,要求货船的航行速度,即是求PB 的长,可先在直角三角形APQ 中利用三角函数求出PQ ,然后利用三角函数求出PB 即可.解:设货船速度为x 海里/时, 4小时后货船在点B 处,作PQ ⊥AB 于点Q . 由题意AP=56海里,PB=4x 海里,在直角三角形APQ 中,∠APQ=60°,所以PQ=28.在直角三角形PQB 中,∠BPQ=45°,所以,PQ=PB ×cos45°=2x .所以,2x=28,解得:x=7≈9.9.答:货船的航行速度约为9.9海里/时.17.解:设MB =x ,∵DF ⊥CB ,∠CDF =45°,∴△CDF 是等腰直角三角形,∴DF =CF .(1分)∵EN 、DM 、CB 分别垂直于AB ,DF ⊥CB ,∴四边形ENMD 、四边形DMBF 为矩形,∴EN =DM =BF ,ED =MN ,∴CF =DF =BM =x ,∵BC =4,∴EN =BF =4-x ,(3分)∵AN =AB -MN -MB ,MN =DE =1,AB =6,∴AN =5-x ,(5分)∵tan ∠EAN =EN AN ,∠EAN =31°,∴4-x5-x ≈0.6,解得x ≈52.(7分)即DM 与BC 的水平距离BM 的长为52(米).(8分) 18.【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ,设AD =x m .用含x 的代数式分别表示BD ,CD .再根据BD +CD =BC ,列出方程并求解即可.解:过点A 作AD ⊥BC 于点D ,设AD =x m.在Rt △ABD 中,∵∠ADB =90°,∠BAD =30°,∴BD =AD ·tan30°=33x .(3分)在Rt △ACD 中,∵∠ADC =90°,∠CAD =45°,∴CD =AD =x .∵BD +CD =BC ,∴33x +x =150,∴x =75(3-3)≈95.即A 点到河岸BC 的距离约为95 m .(8分)。