浅谈“单位圆”在三角函数中的使用胡海光（宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013）摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。
探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的使用及解题中的使用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。
关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；使用1.引言新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。
因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。
基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆和三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象和性质，明白如何用单位圆和三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。
2.单位圆的认识单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。
2.1单位圆的定义所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
如下图所示：2.2为什么用单位圆上点的坐标定义三a角函数用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）利用单位圆定义了三角函数，而且圆具有很好的对称性。
（2）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性（3）有利于构建任意角的三角函数的知识结构。
“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量α的三角函数值和x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线和定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．① P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；|OP|2=1sin2α +cos2α =1；②对于圆心的中心对称性sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα；③对于x轴的轴对称性sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα；④对于y轴的轴对称性sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα；⑤对于直线y=x的轴对称性sin(－α)=cosα，cos(－α)=sinα；⑥sinα在[－，]内的单调性α：－ 0πx：－1010－1 sin在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……2.3用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义用单位圆上点的坐标定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象和性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。
3. 用单位圆认识三角函数线三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边和x 轴非负半轴重合，终边和单位圆相交和点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它和角α的终边或其反向延 长线交和点T .当角α,OM x =sin y r α==1x xr α==tan y x OM OAα=我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边和单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆和x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边和单位圆的交点；余弦线由原点指向垂 足；正切线由切点指向和α的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡和x 轴或y 轴同向的为正值，和x 轴或y 轴反向的 为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4.单位圆在公式推导和性质中的使用4.1“同角三角函数的基本关系”公式推导中的使用在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如2，公式推导：关系式一“1cos sin 22=+αα”，即OMP RT ∆中的勾股“122=+OMMP ”。
关系式二“αααtan cos sin =”，即相似三角形比式“AT OAATOM MP ==”。
4.2 如图5，角π+αα的终边和单位圆的交点P 1(x,y)，知角π+αx,－y)，推出诱导公式（二）：sin(π+α)=－sin αcos(π+α)=－cos αtan(π+α)= tan α如图6，角－α的终边和角α的终边关于x 轴对称， 由角α的终边和单位圆的交点P 1(x,y)，知角－α的终边和单位圆的交点为P 2(x,－y)， 推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sin α cos(－α)= cos α tan(－α)=－tan α同理可以推导出关于y 轴对称三角函数值，如图7 推出诱导公式（四）：sin(π－α)= sin α cos(π－α)=－cos α tan(π－α)=－tan α如图8，角2π－α的终边和角α的终边关于直线y=x 对称， 角2π+α的终边和角2π－α的终边关于y 轴对称， 由角α的终边和单位圆的交点P 1(x,y)， 知角2π－α的终边和单位圆的交点为P 2(y,x)， 角2π+α的终边和单位圆的交点为P 3(－y,x)， 推出诱导公式（五）：sin(2π－α)= cos αcos(2π－α)= sin α诱导公式（六）：sin(2π+α)= cos αcos(2π+α)=－sin α4.3在两角的和和两角的差的正弦和余弦的证明过程的使用证明：Cos(α-β)=Cos α·Cos β+Sin α·Sin β 利用单位圆的特殊性质，巧妙地简化解题的步骤4.4.在三角函数性质中的使用如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。
5. 单位圆和三角函数线在解题中的使用在高中数学中，引入了三角函数线，使三角函数具有了鲜明的几何特征。
单位圆结合三角函数线，是研究三角函数一种数形结合的工具，若能恰当地利用它，往往能使问题解决显得直观、新颖，过程简捷明了，以下简要介绍它们的具体使用。
5.1利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。
例1、求67π的正弦、余弦和正切值。
解：如图12，在直角坐标系中，作∠AO B=67π， 则∠AO B 的终边和单位圆的交点坐标为B(23-，21-) ∴ sin67π=21-，cos 67π=23-，tan 67π=33方法总结：先求出这个角的终边和单位圆的交点坐标，再利用定义求解。
5.2 利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题． 例：利用单位圆解不等式3tan α+3>0 。
解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－33 如图14，由正切线可知 k π－6π<α< k π+2π，k ∈Z ∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2π），k ∈Z5.3 利用单位圆中的三角函数线求函数定义域例：求函数y=21cos sin -+x x 的定义域。
解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥021cos 0sin x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥21cos 0sin x x如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解.∴函数的定义域为{x | 2 k π≤x ≤2 k π+3π, k ∈Z }. 小提示：首先要把不等式变为基本型（最简单的三角不等式），对于三角不等式组应分别确定区域，取其公共部分5.4 证明三角恒等式例5：求证：αα22sec tan 1=+；证明：如图16，在单位圆中作出角的正切线、余弦线，AT =αtan ，OM =αcos ，222221tan 1OT AT OA AT =+=+=+α， 又∵OM OA OP OT =，∴ααsec cos 11===⋅=OM OM OA OP OT ，∴αα22sec tan 1=+5.5 证明三角不等式例3：求证：若α为锐角，则1cos sin >+αα。
证明：如图5，在单位圆中，α是锐角，作出角α的正弦线、余弦线，||sin MP MP ==α，||cos OM OM ==α∵1||||||=>+OP OM MP ∴1cos sin >+αα。
6.小结通过以上总结单位圆在三角函数中的具体使用，让学生体验数形结合思想，进一步感受到用单位圆解题的简捷、直观、巧妙，因此，我们务必充分理解掌握单位圆的定义以及使用，为以后的学习做好铺垫.这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。
参考文献：[1] 王铁军. 挖掘新课程中“单位圆和三角函数线”的教学功能[J],2007.11 [2] 高振球. 单位圆在高一数学中的使用[J],2006.6 [3] 吴汝龙. 三角函数线的解题功能[J],2006.6[4] 普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4[M], 人民教育出版社,2004。