第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。

在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。

多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。

从理论上讲，可用式（4.1.4）近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算系统的基频1ω。

§4.1.2 第二瑞利商瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵Δ[]δ建立的位移运动方程。

这时自由振动方程{}[][]{}x M x δ=-&&(4.1.6)代入式（4.1.1），注意到[]δ、[]M M 是对称矩阵，以及[][][]K I δ=，则系统的势能为{}[][][]{}2T T U x M M x δ=&&&&(4.1.7)由式（4.1.2）可得2{}{}sin()x A t ωωα=-+&&(4.1.8)将上式代入式（4.1.7），系统势能的最大值为4max {}[][][]{}2T T U A M M A ωδ=(4.1.9)由max max T U =可得{}[]{}{}[][][]{}2II ()TTA M A R A A M M A ωδ== (4.1.10)II ()R A 称为第二瑞利商。

可以证明，若所选假设振型{}A 很接近于第一阶主振型{}1A ，则由第一瑞利商和第二瑞利商计算出的2ω值确实接近于21ω，而且比实际值稍大（所谓上限估计）。

对于同一假设振型{}A ，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值21ω，但其精确程度主要取决于假设振型{}A 接近于第一阶主振型{}1A 的程度。

在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。

已知123m m m m ===，123k k k k ===。

图 4.1.1【解】 系统的质量矩阵为[]001000001000001m M m m m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦刚度矩阵为[]12222333302101210011k k k K k k k k k k k +--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦柔度矩阵为[][]11111122123K k δ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦粗略地假设振型为{}[111]TA =，从而得{}[]{}3T A M A m = （1）{}[]{}T A K A k = （2）{}[][][]{}21001111001114(111)01012201010011230011TA M M A m m m k kδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3） 式（1）、（2）代入式（4.1.4）得{}[]{}{}[]{}20.3333TTA K A k k m m A M A ω=== 式（1）、（3）代入式（4.1.10）得{}[]{}{}[][][]{}230.21414TTA K A k km m A M M A ωδ=== 系统的第一阶固有频率的精确值为210.198kmω=，显然第二瑞利商的结果较接近精确值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型T 1{}[0.4450.8021]A =相差较远的缘故。

如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，则以该静变形曲线作为假设振型，即取{}[]356TA =则有{}[]{}70TA M A m = {}[]{}14TA K A k ={}[][][]{}2353Tm A M M A kδ=由式（4.1.4）得20.200k mω=由式（4.1.10）得20.198kmω=可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，则瑞利商结果愈接近于基频21ω。

例4.2如图4.1.2所示，已知梁的弯曲刚度为EJ，不计其质量，13m m m==，22m m=，求系统的第一阶固有频率。

图4.1.2【解】系统的质量矩阵为[]0010002002000001mM m mm⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦柔度矩阵为[]391171116117687119lEJδ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦粗略地选取假设振型为{}[121]TA=，则{}[]{}10TA M A m={}[][][]{}[]323100911712912102011161127684800171191T l m l A M M A m EJEJ δ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入式（4.1.10）得{}[]{}{}[][][]{}22331016.5529/48TT A M A mEJm l EJmlA M M A ωδ===ω=系统第一阶固有频率的精确值为1 4.024ω=。

其误差约为1%。

在系统柔度矩阵已知的情形下，若假设振型用{}[][]{}A M I δ=，则计算精度还可提高。

§4.2 邓克莱法邓克莱(Dunkerley)法又称迹法。

前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估计值，而邓克莱法则给出了系统最低阶固有频率的下限估计值。

如前所述，n 自由度系统的位移方程：{}[][]{}0x M x δ+=&&(4.2.1)设其解为 {}{}()sin x A t ωα=+ 代入式（4.2.1），并以2ω除全式得主振型方程[][][](){}{}20I M A δ-=(4.2.2)其特征方程为21112111121n 22122221222n 212n1n2nn 10001000001n n n n nn m m m m m m m m m δδδωδδδωδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL LL L M M O M M M O M M M O M LL－ 当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为()()21211122210n n nn n m m m ωδδδ--++++=L L由代数方程理论（多项式根与系数之间的关系）可知，上式中()211n -项的系数变号后等于21的n 个根22212n 111ωωωL 、、之和，即22212n 111222111nn n m m m ωωωδδδ=+++L L ＋＋＋(4.2.3)对等式（4.2.3）作如下处理：等式左边，由于12n ωωω<<<L ，即12n111ωωω>>>L ，故近似地只保留一项211ω。

等式右边，令[][][]D M δ=(4.2.4)[]D 称为动力矩阵（dynamic matrix ），则式（4.2.3）右边为动力矩阵的迹，记为[]tr D 。

因为()1,2,,ii i n δ=L 是第i 个质量处作用单位力时系统在该处的柔度系数。

设想系统只有一个质量i m 存在，则系统成为单自由度系统，这时系统的刚度1i ii k δ=，固有频率i Ω为21i i i ii i k m m Ω==， 即21ii i i m δ=Ω，于是有[][][]()2211ii i iim tr D tr M δδω≈===Ω∑∑(4.2.5)综上所述，式（4.2.3）可写为22221121111nω≈+++ΩΩΩL (4.2.6)即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质量i m 单独存在时固有频率平方值2iΩ的倒数之和。

由于式（4.2.3）的左边舍去了一些正数值，从而所得的21ω值比真值小。

式（4.2.6）称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶固有频率的下限估值。

由于等式右边为动力矩阵[]D 的迹[]tr D ，故邓克莱法又称为迹法，它只适用于[]M 为对角矩阵的系统。

邓克莱法在准确度上一般不如瑞利能量法，但由于它的计算较简单，且易考虑各质量或刚度的变化对最低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。

用邓克莱法计算例4.1中系统的基频。

【解】 由例4.1可知，系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为[]100010001M m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， []1111122123k δ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦动力矩阵[]D 为[][][]1111001111122010122123001123m D M m k k δ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其迹为[][][]()6mtr D tr M kδ==由式（4.2.5）得系统的基频为210.167kmω≈， 1ω=上述结果与精确值相比误差较大，大约为8.08％。