习题1313-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。

（1）0P P =；（2）R xP P 0=。

解：可利用公式'cos SSq P d S P d S θ=-⋅=-⎰⎰⎰⎰vv 乙算出极化电荷。

首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=， （1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=，220100'cos 2sin sin 2202R P q P R d d πππθπθθθθ=-⋅=-=⎰⎰；（2）R x P P 0=时，22000cos 'cos cos cos x R P P P R Rθσθθθ===2222200'cos 2sin 2cos cos q PR d RPd ππθπθθπθθ=-⋅=⎰⎰22300024cos 33R P R P πππθ==-。

13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87-⨯±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16⨯，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。

解：（1）由0r E σεε=，有：18.710100104.11085.8109.8461270=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---ES Q r εε（2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=⨯13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3d，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3d的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为：00E σε=， 而电介质内的场强为：0r rE σεε=， 所以，两板间电势差为：00233r d U d σσεεε=⋅+⋅， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而00S C dε=，∴0321r r CC εε=+； （2）插入厚度为3d的导电板，可看成是两个电容的串联，有：00123/3S SC C d d εε===，∴0021212323C dS C C C C C ==+=ε⇒032C C =。

Pv θ3d 3d 3d13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。

解：（1）由：1(')SE d S q q ε⋅=+∑⎰⎰v v Ò，有：00'E σσε-=（∵'σ给出的是绝对值）（2）又由00r E σεε=，有：00000000''r E σσεσεεεσσσσ==⋅=--。

13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。

若导体内表面的自由电荷面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由'Sq P d S =-⋅⎰⎰vv Ò，考虑到0(1)rP E εε=-v v ， 有：0'(1)Sr q E d S εε⋅=--⎰⎰vv Ò，与'Sq q E d S ε+⋅=⎰⎰vv Ò联立，有：00''(1)r q q q εεε+-=-，得：(1)'r rqq εε-=-，∴1'r rεσσε-=-。

13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理i SS D d S q ⋅=∑⎰⎰vv Ò内。

（1）导体内外的电位移为：0r R >，24QD r π=；0r R <，0D =。

（2）由于0rDE εε=，所以介质内外的电场强度为：0r R <时，10E =；10R r R >>时，2204DQ E rεπε==；21R r R >>时，3204r r DQ E rεεπεε==；2r R >时，4204DQ E rεπε==。

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为0200/E kV m =，试求该电容器可能承受的最高电压。

解：由介质中的高斯定理，有：02r E rλπεε=，∴00ln 22R R r r r rr R U E d r d r r r λλπεεπεε=⋅==⎰⎰v v， ∵击穿场强为0E ，∴002r r E λπεε=，则0ln r RU rE r=， rεσ+σ-•rR令0r r r dU d r==，有：000ln0R E E r -=，∴0ln 1R r =⇒eR r =0， ∴0max 000ln147R E R U r E KV r e===。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d 和2d 的电介质，它们的相对介电常数为1r ε和2r ε，极板面积为S ，求电容量。

解：∵12D D σ==，∴101r E σεε=，202r E σεε=， 而：1211220102r r d d U E d E d σσεεεε=+=+， 有：001212211212r r r r r r S S Q C d d U d d εεεεεεεε===++。

13-9．利用电场能量密度212e w E ε=计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R ，带电量为Q 。

解：首先求出场强分布：13022044Q r E r R E R Q E r R r πεπε⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎩=⎪∴2222200032000()4()422424R RQ r Q W E dV r d r r d r R rεεεπππεπε∞==+⎰⎰⎰⎰⎰20320Q Rπε=。

13-10．半径为cm 0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm 0.4和cm 0.5，当内球带电量为C 100.38-⨯时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？解：（1）先求场强分布：112122032333200404E r R q E R r R r E R r R q E r E r R πεπε=<⎧⎪⎪=<<⎪⎨=<<⎪⎪=⎩=>⎪考虑到电场能量密度212e w E ε=，有：球与球壳之间的电能： 2122220012001211()4()2248R R q q W E dV r dr r R R εεππεπε===-⎰⎰⎰⎰41.0110J -=⨯ 球壳外部空间的电能：3222222003()42248R q q W E dV r dr rR εεππεπε∞===⎰⎰⎰⎰58.110J -=⨯，∴系统储存的电能：412 1.8210W W W J -=+=⨯；（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以1'0W =而外表面所带电荷不变，那么：52'8.110W W J -==⨯。

13-11．球形电容器内外半径分别为1R 和2R ，充有电量Q 。

（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按CQ W 2e 21=算得的电容器所储电能值相等。

解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：204QE r πε=，（12R r R <<）利用电场能量密度212e w E ε=，有电容器内电场的能量：2122222002120012012()11()4()22488R R Q R R Q Q W E dV r d r r R R R R εεππεπεπε-===-=⎰⎰⎰⎰； （2）由21212120012012()11()444R R R R Q R R Q Q U dr rR R R R πεπεπε-==-=⎰， 则球形电容器的电容为：12120214R R R R QC U R R πε==-，那么，2221012()128e Q R R Q W C R R πε-==。

（与前面结果一样）13-12．一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出。

解：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变，有介质时：2201001122r rSd W E Sd σεεεε==，（0r D E εε=，0D σ=）取出介质后：2202001122Sd W E Sd σεε==，外力所做的功等于静电场能量的增加：2021011(1)2rSd W W W σεε∆=-=-；（2）维持两板上电压U 不变，有介质时：20212121U dS CU W r εε==， 取出介质后：20222121U dS CU W ε==，∴02211(1)2r S W W W U d εε∆=-=-。

考虑外力对电源做功：)1(0221-=∆-=∆-=r dS U C U q U A εε所以外力所做的功为：)1(21021r dSU W A A εε-=∆+=13-13．在边长为a 的等边三角形的三个顶点上各有一电荷为+q 的点电荷，而在三角形中心处有一电荷为3/q -的点电荷，如图所示．求此点电荷系的电势能．解：三角形三个顶点上的电荷间的电势能为a q W 021π43ε⋅=三角形中心上的电荷与三个顶点的电荷间的电势能为()()()a q a qq W 0202π433/π43/3εε-=⋅-⋅= 总电势能 W = W 1 + W 20π43π430202=-=aq a q εε答案：0。

思考题1313-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：θP σcos ='。

13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？答：1σ'=⋅11n P e ，2σ'=⋅22n P e ()P σ=-⋅12n P P e 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。

13-3．介质边界两侧的静电场中D 及E 的关系如何？答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。