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最新材料力学答案1

第二章 轴向拉伸和压缩2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并作轴力图。

(a )解:;; (b )解:;;(c )解: ; 。

(d) 解:。

2-2 一打入地基内的木桩如图所示,沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx ²(k 为常数),试作木桩的轴力图。

解:由题意可得:⎰0lFdx=F,有1/3kl ³=F,k=3F/l ³F N (x 1)=⎰1x 3Fx ²/l ³dx=F(x 1 /l) ³2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ,其横截面面尺寸如图所示。

荷载F=1000KN ,材料的密度ρ=2.35×10³kg/m ³,试求墩身底部横截面上的压应力。

解:墩身底面的轴力为:g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积:)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件,所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。

屋架的上弦用钢筋混凝土制成。

下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成,其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。

已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。

试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。

解:=1) 求内力 取I-I 分离体得(拉)取节点E 为分离体,故(拉)2) 求应力75×8等边角钢的面积 A =11.5 cm 2(拉)(拉)2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ,杆的横截面面积 。

如以 表示斜截面与横截面的夹角,试求当 ,30 ,45 ,60 ,90 时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。

解:2-6 一木桩柱受力如图所示。

柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10 GPa 。

如不计柱的自重,试求: (1)作轴力图;(2)各段柱横截面上的应力; (3)各段柱的纵向线应变; (4)柱的总变形。

解: (压)(压)2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用,试求杆的伸长。

解:取长度为dx 截离体(微元体)。

则微元体的伸长量为:)()(x EA Fdx l d =∆ ,⎰⎰==∆l l x A dxE F dx x EA F l 00)()(l xr r r r =--121,22112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=,2211222)(u d x ld d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ,dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+- du d d l dx 122-=,)()(22)(221212udud d l du u d d lx A dx -⋅-=⋅-=ππ因此,)()(2)()(202100udud d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l⎰⎰⎰--===∆π lld x l d d d d E Fl u d d E Fl 011221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π 2-10 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。

已知该杆材料的弹性常数为E , ,试求C 与D 两点间的距离改变量 。

解:横截面上的线应变相同因此2-11 图示结构中,AB 为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量GPa E 210=,已知m l 1=,221100mm A A ==,23150mm A =,kN F 20=。

试求C 点的水平位移和铅垂位移。

2-11图 解:(1)求各杆的轴力以AB 杆为研究对象,其受力图如图所示。

因为AB 平衡,所以0=∑X ,045cos 3=o N,03=N由对称性可知,0=∆CH ,)(10205.05.021kN F N N =⨯=== (2)求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移:mmmm mmN mmN EA l N l 476.0100/21000010001000022111=⨯⨯==∆ B 点的铅垂位移: mm mmmm N mmN EA l N l 476.0100/21000010001000022222=⨯⨯==∆ 1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。

由1、2、3杆的变形协(谐)调条件,并且考虑到AB 为刚性杆,可以得到C 点的水平位移:)(476.045tan 1mm l oBH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆受力图变形协调图C 点的铅垂位移:)(476.01mm l C =∆=∆2-12 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接,在A 点作用有铅垂向下的力kN F 35=。

已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=,钢的弹性模量GPa E 210=。

试求A 点在铅垂方向的位移。

解:(1)求AB 、AC 杆的轴力以节点A 为研究对象,其受力图如图所示。

由平衡条件得出:0=∑X :045sin 30sin =-o AB o ACN NAB AC N N 2=………………………(a)0=∑Y :03545cos 30cos =-+o AB o ACN N7023=+AB AC N N ………………(b)(a) (b)联立解得:kN N N AB 117.181==;kN N N AC 621.252== (2)由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移222211212221EA l N EA l N F A +=∆ )(122221121EA l N EA l N F A +=∆式中,)(141445sin /10001mm l o ==;)(160030sin /8002mm l o== 2211131214.325.0mm A =⨯⨯=;2221771514.325.0mm A =⨯⨯=故:)(366.1)177210000160025621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=∆ 2-13 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝,在钢丝的中点C 加一竖向荷载F 。

已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε,其材料的弹性模量GPa E 210=, 钢丝的自重不计。

试求:(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律); (2)钢丝在C 点下降的距离∆; (3)荷载F 的值。

解:(1)求钢丝横截面上的应力)(7350035.0210000MPa E =⨯==εσ (2)求钢丝在C 点下降的距离∆)(72100002000735mm E l EA Nl l =⨯=⋅==∆σ。

其中,AC 和BC 各mm 5.3。

996512207.05.10031000cos ==αo 7867339.4)5.10031000arccos(==α)(7.837867339.4tan 1000mm o==∆(3)求荷载F 的值以C 结点为研究对象,由其平稀衡条件可得:0=∑Y :0sin 2=-P a Nασsin 2sin 2A a N P ==)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =⨯⨯⨯⨯⨯=[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑,如图,在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米,A2=6平方毫米,A,3=9平方毫米,杆的弹性模量E=210Gpa ,求:(1) 端点A 的水平和铅垂位移。

(2) 应用功能原理求端点A 的铅垂位移。

解:(1)3323311031231111711961222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.15060,401,0,60100.15 3.87210101210401llN N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====⎧=⎪-+-+=⎨⎪-⨯+⨯=⎩∴=-=-=-⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯∆==⎰⎰o o1有3由胡克定理,796x 2y 2100.15 4.762101012104.762320.23A l A l l -⨯=⨯⨯⨯∆=∆=∆=∆⨯+∆⨯=↓从而得,,()(2)y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=⨯∆-⨯∆⨯∆=∆=↓()2-16 简易起重设备的计算简图如图所示。

已知斜杆AB 用两根63mm ×40mm ×4mm 不等边角钢组成,钢的许用应力[σ]=170MPa 。

试问在提起重量为P=l5kN 的重物时,斜杆AB 是否满足强度条件?解:1.对滑轮A 进行受力分析如图:∑FY=0; F NAB sin300=2F ,得,F NAB =4F=60kN2.查附录的63mm ×40mm ×4mm 不等边角钢的面积A=4.058×2=8.116cm ²由正应力公式: σ=F NAB /A=60×10³/(8.116×10-4)=73.9×106 Pa=73.9MPa<[σ] 所以斜杆AB 满足强度条件。

2-17 简单桁架及其受力如图所示,水平杆BC 的长度l 保持不变,斜杆AB 的长度可随夹角θ的变化而改变。

两杆由同一种材料制造,且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力,且结构的总重量为最小时,试求: (1)两杆的夹角;(2)两杆横截面面积的比值。

解:(1)求轴力取节点B 为研究对象,由其平衡条件得:∑=0Y0sin =-F N AB θ θsin FN AB =∑=0X0cos =--BC AB N N θ θθθθcot cos sin cos F FN N AB BC =⋅=-= 2-17 (2)求工作应力 θσsin AB AB AB AB A FA N ==BCBC BC BC A F A N θσcot ==(3)求杆系的总重量)(BC BC AB AB l A l A V W +=⋅=γγ 。

γ是重力密度(简称重度,单位:3/m kN )。

)cos (l A lA BC AB+=θγ )cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ(4)代入题设条件求两杆的夹角 条件①: ][sin σθσ===AB AB AB AB A F A N ,θσsin ][FA AB = ][cot σθσ===BC BC BC BC A F A N , ][cot σθF A BC =条件⑵:W 的总重量为最小。

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