【全国百强校】山西省临汾第一中学2020-2021学年高二10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面 D ．平行 2．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ） A ．8- B ．0 C ．2 D ．10 3．正方形ABCD 的边长为1cm ，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )A ．24cmB ．21cmC ．2D ．24cm 4．直线sin 20x a y ++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0,)πB ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 5．已知2,0a b b =≠且关于x 的方程20x a x a b +-⋅=有两相等实根，则向量a与b 的夹角是( )A ．－6πB ．－3πC ．3πD ．23π 6．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒．若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为( )A ．8πB ．16πC ．24πD ．32π 7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．直线l 过点(1,2)A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．12D ．2 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ ）A ．316B ．916C ．38D ．5810．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．23π B ．56π C ．π D ．76π 11．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若M 是线段11A C 上的动点，则下列结论不正确的是( )A ．三棱锥M ABD -的正视图面积是定值B ．异面直线CM ，AB 所成的角可为3π C ．异面直线CM ，BD 所成的角为2π D ．直线BM 与平面ABCD 所成的角可为3π二、填空题13．过点(1,0),(5,)A m B m +-的直线与过点(4,3),(0,5)C D -的直线垂直，则m =_________．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为__________.15．如图所示，是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①A 与点S 重合； ②AE 与BF 垂直；③PH 与BF 所成角度是45； ④MP 与CE 平行．其中正确命题的序号是_________．16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为_______.三、解答题17．求与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程． 18．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，它们的对边分别为,,a b c ，且满足:2a b c ==.（1）求,,A B C ；（2）求ABC ∆的面积S .19．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知数列{}n a 为等差数列，153,35a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和。

20．如图，已知多面体ABC-A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．21．如图所示，三棱台DEF ABC - 中，AB=2DE ，,G H 分别为AC ，CB 的中点．（1）求证：平面ABED FGH ；（2）若CF BC ⊥，AB BC ⊥，求证：平面BCD ⊥平面EGH .22．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面P AD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.参考答案1．A【解析】【分析】利用平面α∥平面β，可得平面α与平面β没有公共点，根据,a b αβ⊂⊂，可得直线a ，b 没有公共点，即可得到结论．【详解】 ∵平面α平面β，∴平面α与平面β没有公共点∵a α⊂，b β⊂，∴直线a ，b 没有公共点∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面，故选A.【点睛】本题考查面面、线线、线面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力以及空间想象力，属于基础题．2．A【分析】因为过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，所以两直线的斜率相等.【详解】解：∵直线210x y +-=的斜率等于2-，∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是2-，422m m -∴=-+，解得8m =-， 故选：A.【点睛】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.3．C【分析】根据斜二测画法的规则可还原出原来的图形，得原图为一个底为1，高为形，求出它的面积即可．【详解】如图所示，由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y '，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍长度为21⨯=，故选C.【点睛】本题考查了斜二测画法的规则与应用问题，解题时应还原出原来的图形，是基础题．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 点，画直观图时，把它画成对应的x '轴、y '轴，使45x Oy ∠''=︒（或135︒），它确定的平面表示水平平面；（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '或y '轴的线段；（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．4．B【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．【详解】解：直线sin 20x y α++=的斜率为sin k α=-，1sin 1α-，11k ∴-根据正切函数的性质可得∴倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5．D【分析】根据关于x 的方程20x a x a b +-⋅=有两个相等的实根便可得到24cos ,0a a b a b =+=，而由20a b =≠,便可得到1cos ,2a b =-，从而便可得出a 与b 夹角的大小. 【详解】 方程20x a x a b +-⋅=有两个相等的实根， ∴2244cos ,0a a b a a b a b =+⋅=+=， ∵20a b =≠，∴24cos ,b b a b =-， ∴1cos ,2a b =-，∴a 与b 的夹角为23π，故选D. 【点睛】考查一元二次方程实根的情况和判别式取值的关系，以及向量数量积的计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．6．A【解析】【分析】利用已知条件求出母线长度4SA =，然后求解底面半径为2，然后求解体积即可.【详解】圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SAB 的面积为8，可得2182SA =，解得4SA =，SA 与圆锥底面所成角为30，可得圆锥的底面半径为2，则该圆锥的体积为21283V ππ=⨯⨯⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.7．C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 8．D 【解析】 【分析】由题意作出图象，利用经过两点()11,A x y ，()22,B x y 间的斜率定义2121x x k y y -=-，结合图象求解． 【详解】由直线l 过点()1,2A ，且不过第四象限，∴作出图象，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件， 由图可知，当直线过()1,2A ，00O （，）时，直线斜率取最大值2max k =，∴直线l 的斜率的最大值为2，故选D. 【点睛】本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，属于基础题. 9．A 【解析】试题分析：如图所示的过球心的截面图，r =√R 2−14R 2=√32R,S 圆S 球=π(√32R)24πR 2=316，故正确答案为A.考点：球体的表面积和体积. 10．C 【分析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得223rl r r πππ+=，从而2l r =，再由扇形面积公式能求出该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角． 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ， 根据条件得223rl r r πππ+=，即2l r =，根据扇形面积公式得22l rl θπππ=，即222r r l r ππθπ⋅⋅===，故选C. 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的求法，考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用． 11．B 【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为1212n n n n，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°. 12．D 【分析】判断主视图的底与高是否发生变化来判断A ，利用几何法以及建立空间坐标系将线线角以及线面角的关系转化为向量的关系来判断B ，C 和D ． 【详解】对于A ，三棱锥M ABD -的主视图为三角形，底边为AB 的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A 正确；对于B ，分别以AB ，AD ，1AA 为坐标轴，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，(),1M a a ，，100B （，，），000A （，，），110C （，，）， ∴() 1,11CM a a ，=--， 100AB =（，，），∴,cosCM AB =，当2122(1)a =--+时，方程有解， ∴异面直线CM ，AB 所成的角可为3π，故B 正确． 对于C ，连结AC ，BD ，1A C ，则BD AC ⊥，∵11ACAC ，∴11BD AC⊥， 又∵1BD CC ⊥，于是BD ⊥平面11AC C ，∵CM ⊂平面11AC C ，∴BD CM ⊥，故C 正确；对于D ，结合B 中的坐标系，可得面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，()1,,1BM a a =-，所以(cos ,nBM =令cos ,1n BM ==方程无解，即直线BM 与平面ABCD 所成的角可为3π是错误的，故选D.【点睛】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，线面角，使用向量法可快速计算空间角的问题，异面直线所的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补，主要通过异面直线角的范围来确定的，直线与平面所成的角满足sin cos ,m n θ=，属于常规题. 13．-12【解析】 【分析】利用经过两点()11,A x y ，()22,B x y 间的斜率定义2121x x k y y -=-计算出CD k ，利用斜率乘积为1-，求出m 的值即可．【详解】∵()()4,3,0,5C D -，∴()531042CD k -==--，又∵AB 与CD 互相垂直，∴()02156AB m mk m m --===-+--+，解得12=-m ，故答案为12-. 【点睛】本题考查了两点间的斜率计算公式以及两条直线的垂直条件的应用，基本知识的考查，属于基础题. 14【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值. 【详解】解答：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===1(1,0,0),(0,0,0)A D D ∴，1B ，11(1,0,3),(1,1AD DB ∴=-=设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ，则1111||cos ||||2AD DB AD DB θ⋅===⋅∴异面直线1AD 与1DB . . 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 15．①④ 【分析】把展开图，折叠还原为正方体如图所示，根据正方体的性质即可得到正确选项． 【详解】把展开图，折叠为正方体如图，容易得到A 与点S 重合，AE 与BF 成60角，PH 与BF 成60角，MP与CE 平行，正确答案为①④.【点睛】本题是基础题，考查几何体的折叠与展开，注意折叠前后，字母随平面而动，准确还原是解题的关键. 16【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ， 延长1CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC.∵123CO ==∴13OO ==，∴高12SD OO ==∵ABC ∆是边长为1的正三角形，∴4ABC S ∆=，∴13436S ABC V -=⨯=. 考点：棱锥的体积.17．直线方程为3440x y +-= 【解析】试题分析：设直线l 的方程为340x y m ++=，分别令0,0x y ==，求出直线在坐标轴上的截距，根据两坐标轴上截距之和为73列方程求解即可得出m 的值，从而可得直线l 的方程. 试题解析：设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，令x ＝0，得y 轴上截距b ＝－4m；令y ＝0，得x 轴上截距a ＝－3m .所以－3m ＋(－4m )＝73.解得m ＝－4.所以所求直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.18．(1) 4A π=,3B π=，512C π=;(2)3ABC S ∆=. 【解析】分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件A 、B 、C 成等差数列及:a b = 2c =，可运用正弦定理，可求出A 、B 、C ；（2）由（1）已知角，先运用正弦定理求出所需的边，即可求出面积.详解：（1）∵A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=， 又∵180A B C ++=，∴60120B A C =+=，， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可知sin sin a Ab B=，sin sin sin603A A ==⇒= ∵0120A <<，∴45A =，12075C A =-=， 综上，456075ABC ===，，；（2）()6sin75sin 3045sinC +==+=，由2sin45sin60sin7522a b==⇒==, 得))211a b ==，， ∴)11sin 2123222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=． 点睛：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了计算能力和转化思想.19．(1) 21n a n =+;(2) ()323nn +.【解析】 【分析】（1）先有535S =可求出37a =，故而可求出公差d ，根据等差数列的通项公式即可得结果；（2）结合（1）可得()()12123n b n n =++，利用列项相消即可得其前n 项和.【详解】（1）因为数列为等差数列，设公差为d 由题可得5123453535S a a a a a a =++++==所以37a =，从而可得2d =所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+. （2）由21n a n =+可是，()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 设数列{}n b 前n 项和为n T ，则12n n T b b b =++1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.20．（Ⅰ）证明见解析；. 【分析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解. 方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出111111,AB A B AB A C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）根据方程组解出平面1ABB 的一个法向量，然后利用1AC 与平面1ABB 法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解. 【详解】 详解：方法一：（Ⅰ）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=.故111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC == 11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =， 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111BC A B AC ==111111cos C A B C A B ∠=∠=，所以1C D，故111sin C D C AD AC ∠==因此，直线1AC 与平面1ABB. 方法二：（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,,1,0,2,,A B A B C因此()()()111111,3,2,1,3,2,0,23,AB A B AC ==-=-由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥. 由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（Ⅰ）可知()()()110,23,1,1,3,0,0,0,2,AC AB BB === 设平面1ABB 的法向量(),,n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,20,x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取()3,1,0n =-. 所以11139sin|cos ,|13AC n AC n AC nθ⋅===⋅.因此，直线1AC 与平面1ABB . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图所示，连接DG ，CD ，设CD GF M ⋂=，连接MH ，先得四边形CFDG 是平行四边形，BD 平面FGH ，再得DE 平面FGH ，根据面面平行判定定理即可得结果；（2）连接HE ，GE ，先得GH BC ⊥，通过证四边形EFCH 是平行四边形，得CF HE ，进而HE BC ⊥成立，再得线面垂直BC ⊥平面EGH ，最后由面面垂直判定定理可得结论.【详解】（1）如图，连接DG ，CD ，设CD GF M ⋂=，连接MH .在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G 为AC 的中点，可得DF GC ，DF GC =，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以HM BD .又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD 平面FGH .因为DE GH .所以DE 平面FGH.又因为ED BD D ⋂=，且ED ，BD ⊂平面ABDE所以平面ABED 平面FGH ；（2）如图，连接HE ，GE .因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH AB .由AB BC ⊥，得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以EF HC ，EF HC =，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF HE . 又CF BC ，所以HE BC ⊥.又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .【点睛】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题.22．(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)V E-AB C =13【解析】本题主要考查立体几何中点线面位置关系，并以我们熟悉的四棱锥为载体，尽管侧重推理和运算，但所用知识点不多，运算也不麻烦，对于大多考生来说还是一道送分题． (Ⅰ) 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ,又∵AD ⊄平面P AD ，E F ⊄平面P AD ,∴EF ∥平面P AD .(Ⅱ)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则EG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A .在△P AB 中，AP =AB ，∠P AB=90°,BP =2，∴AP =AB ,EG =2.∴S △ABC =12AB ·BC =12×,∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2=13. 点评：本题是我们常见的题型，相比平时那些求角及距离的题要容易的多，并且所考知识点不多运算也不麻烦，是一道基础题．。