导数解公切线专题
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1. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切,
4
则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或7
6444644
2.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b .
3•求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程•
变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程
【答案】1 In2
【解析】
试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y =
与圉数
X x+1
y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）,
则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得
3•求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程• 解：T y ' =x 2+2x — 2,
•••切线斜率 k= y'x =1=3. •••切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0.
变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程.
y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以
“ ja + 1
ln(x n +1) =1口
叫
’解之得
X ； 叼+1
3
1. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和y
ax 2
15 x 4
9都相切,
则a 等于
A .
1
或-64
B .
1 或 21
4
C .-或-24
4 64
1.设过（1,0）的直线与y
3
3
x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为
x o
3x o 2(x X o )
2
3x 0 x 2x 0
，又（1,0）在切线上，则X 。

0或X 。

2
15
25
当X 0时，由y
0与y ax
x 9相切可得 a
4
64
3」丄
27 27 一
2 15
当X ）
—时，由
y
x 与y ax X 9相切可得a
2
4 4
4
2. ( 2016 年全国II
理16) 若直线y
kx b 是曲线 y In x
y In (x 1）的切
线，
则b
所以选A .
考点：导数的几何意义•
1
,
2的切线，也是曲线
解设切点P (X。

, X03+X02—2x0),
•/y' =3+2x —2,
•••切线斜率k=3x o2+2x o —2.
•••切线方程为y－(x03+x02－2x0)=(3x02+2x0－2)(x
－x0) .
•••点A在切线上，
• 0—( x03+x02—2x0)=(3x02+2x0—2)(1—x0)．即
x03—x02—x0+1=0 ．
故(x0—1)2 ( x0+1 )=0．
解得x0= —1 或x0= 1 ．
•当x0=—1 时，切线方程为x+y—1=0；
当x o=i时，切线方程为3 x —y—3 =0.
综上，曲线过点A(1，0)的切线方程为
3x—y—3=0 ,或x+y—仁0.
y
O x。