2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学试题参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.D 10.C 11.AC 12.ABC 13.ABD二、填空题14.(1,0)- 15.1 16.517.427- , 7(,]2-∞（可写为72m ≤） 三、解答题18.解：（1）设2()f x ax bx =+，∵(2)()f x f x -=-，所以()f x 的对称轴方程为12b x a=-=-， ……………………………………2分 又()2f x ax b ¢=+，则(0)2f b ¢==-， ……………………………………4分 两式联立，解得1-=a ，2b =-.所以2()2f x x x =--. ……………………………………5分（2）由已知max max ()()f x g x ≥. ……………………………………6分因为2()2f x x x =--，[]3,0x ∈- 所以()f x 在(3,1)--单增，(1,0)-单减，当1x =-时，max ()1f x =…………8分 法一：当01a <<时， ()5xg x a a =+-在[]2,1上为减函数， max ()(1)25g x g a ==-，此时125a ?，解得01a <<. ………………10分当1a >时， ()5x g x a a =+-在[]2,1上为增函数，2max ()(2)5g x g a a ==+-，此时215a a ?-，解得12a <?. ……………………………………12分综上，实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.……………………………13分 （法二：因为0a >且1a ≠，所以()5x g x a a =+-为单调函数，所以{}max ()max (1),(2)g x g g =，又(1)25g a =-，2(2)5g a a =+-， ……………10分于是由212515a a a ≥-⎧⎨≥+-⎩，解得32a -≤≤. ……………………………………12分又0a >且1a ≠，所以实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.………13分）19. 解：（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=对定义域内任意的x 恒成立. 即22log ()log ()0+1+1n n m m x x +++=-， ……………………………………2分 化简得 2222()1m x m n x -+=-， ……………………………………4分 故21m =，2()1m n +=，解得1m =-，2n =. ……………………………7分（2）由（1）知，21()log 1x f x x-=+，……………………………………………………9分 由21()log 11x f x x -=?+，得121x x -³+， ………………………………………11分 解得113x -<?， 综上，满足题意的x 的取值范围是 1(1,]3--. …………………………………13分 20.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+?，1()(2)1f x m x x '=---，…………………2分 因为()f x 在定义域内为增函数，所以对0x ∀>，恒有()0f x '≥，整理得 22111172()24m x x x ≤-+=-+恒成立，于是74m ≤. 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7(,]4-?. ………………………6分 因为()g x 的存在两个零点且121x x <<，所以(1)0m g ?. ………………………8分 即(24)0m m -<，解得02m <<.因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2). ………………………10分（2）甲、乙两同学的判断均不正确， ………………………………………………11分因为p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件, ………………………………………12分 因为q p ⇒/，所以p 不是q 的必要条件. ………………………………………13分21.解：（1）当0a =时，(1)0f =，(1)e f ¢=， ……………………………………2分 所以切线方程为0e(1)y x -=-，即e e 0x y --=.……………………………4分（2）()()e xf x x a ¢=-，当0a £时，当[0,1]x Î，()0f x ¢³，()f x 单调递增， 此时max ()(1)e f x f a ==-，………………………………………………………6分当01a <<时，当(0,)x a Î，()0f x ¢<，()f x 单调递减，当(,1)x a Î，()0f x ¢>，()f x 单调递增，此时{}max ()max (0),(1)f x f f =, ………………………8分 又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--，所以当10e 1a <?-时，max ()(1)e f x f a ==- 当11e 1a <<-时，max ()(0)1f x f a ==--. ………………………10分 当1a ³时，当[0,1]x Î，()0f x ¢£，()f x 单调递减， 此时max ()(0)1f x f a ==--………………………………………………………12分 综上，当1e 1a £-时，max ()(1)e f x f a ==-， 当1e 1a >-时，max ()(0)1f x f a ==--. ………………………………13分 22.解：（1）当520t ?时，不妨设2()1000(20)P t k t =--，因为(5)100P =，所以解得4k =. ………………………………3分因此 2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t P t t t ìï--??ï=íï＃?ïîN N . ……………………5分 （2）① 当520t ?时，23()()40650200050020004t Q t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t ==--+，520t ?. ……………………7分 因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t---+=，当510t ?时，()0y t ¢>，()y t 单增； 当1020t <<时，()0y t ¢<，()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==.…………10分 ② 当2025t＃时，2()409002000Q t t t =-+- 因此()50()90040()Q t y t t t t ==-+，2025t ＃. ……………………12分因为()y t ¢=2240(50)0t t --<，此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==，…14分 综上，发车时间间隔为10分钟时，tt Q )(最大. ……………………15分23.解：（1）()()e (1)e (1)e x x x a a f x x x x x¢=-+-=--. ……………………1分 令()(1)e x a g x x x=--，[1,)x ∈+∞，则322e ()e x x a a x g x x x x +¢=--=-,…2分 ①当0a =时，当(1,)x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减，又(1)0g a ==，所以对"1x >时，()(1)0g x g <=，此时()g x 在(1,)+?不存在零点. ………………4分②当0a >时，当(1,)x ∈+∞，()0g x ¢<， ()g x 单调递减. 又因为(1)0g a =>，取}0maxx a =， 则02000000()(1)e (1)(1)20x a a g x x x x x x a=--<--+=-?，即0()0g x <. 根据零点存在定理，此时()g x 在(1,+∞）存在唯一零点. ………………6分综上，当0a >时，()f x ¢在(1,)+∞存在唯一零点；当0a =时，()f x ¢在(1,)+∞没有零点. ………………………………………………7分（2）由已知得ln (2)e xm x x x <---在(]1,0上恒成立. ………………………………8分 设()ln (2)e x h x x x x =---，(0,1]x ∈，则1()(1)(e )x h x x x'=--……………9分 因为01x <<时，所以10x ->， 设1()e x u x x =-，21()e 0x u x x ¢=+>，所以)(x u 在(0,1) 上单调递增，………10分又1()202u =<，(1)e 10u =->，由零点存在定理)1,21(0∈∃x ，使得0)(0=x u ，即001e x x =, 00ln x x =-， ………………………………………………12分 且当),0(0x x ∈时，()0u x <，()0h x '<，()h x 单调递减；当(]1,0x x ∈时，()0u x >，()0h x '>，)(x h 单调递增. 所以0min 0000002()()ln (2)e 21x h x h x x x x x x ==---=-+，…………………14分 又x x y 221++-=在)1,0(上单调递减，而)1,21(0∈x ，所以)4,3()(0∈x h ， 因此，正整数m 的最大值为3.………………………………………………………15分。