n
绝对收敛
定义3 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， XY x0X，如果对 0, 0, 当 x x0 时，
f ( x) f ( x0 ) ，则称 f 在点 x0 处连续。 如果 f 在 X 中每一点都连续，则称 f 在空间 X 上 连续。
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn } X 果 ，如
xn x0 ，则 f ( xn ) f ( x0 ) ；
(2) 范数 ||•||： R 是连续映射； X (3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射； (4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
x y (1 1 , 2 2 ,, n n ,)
x (1 , 2 ,, n ,)
则( X ,,)构成复数域 C 上的线性空间。 再令 d ( x, y ) 2
i 1 i
i i 1 i i
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
n 1 j n i 1 n
2

（F-范数） （列和范数） （行和范数）
A 1 max aij
A max aij
1i n j 1
Notes：
10 内积空间按内积诱导的范数构成赋范线性空间；
20 并不是所有的赋范线性空间都可由内积空间按内积诱导 成空间；
例1：设 f ： X→Y，则 f 为连续映射 开集的
原象为开集 闭集的原象为闭集。
2.2 集合的闭包
定义2： 设 X 为赋范线性空间，AX, xX， 如果对 r >0，均有 B( x, r ) A ，则称 x 为
A 的接触点(也称聚点)。A 的所有接点组成的集合 称为 A 的闭包，记为 A 。
例1：
X C
nn
, Am aij
, (m 1)
(m)
m
A0 aij

(0)
max 在 X 中定义如下范数： A 1i , jn aij
则 lim Am A0 lim Am A0 0
m
lim max a
m 1 i , j n m m
n P x p i (1 p ) i 1 则 ||•|| 和 ||•||p 均为 C n 中的范数，称 ||•|| 为最大值范数， ||•||p 为 p 范数。
由于范数的定义不同，故 (X , ||•|| ) 与 (X, ||•||p )是 两个不同的赋范线性空间。
iN
则 ( X, ||•|| ) 为赋范线性空间。
取 {xn}n≥1 ∈X, xn=(1,1/2, ·,1/n,0,0， ·) ，n=1,2·， · · · · · · 则 {xn} 为 X 中 Cauchy 序列，但 {xn} 不为 X 中收敛 序列。 (2) Cauchy 序列为有界序列； (3) 如果 Cauchy 序列的某个子序列收敛，则 Cauchy 序列也收敛，并且极限相同。
d (x,y ) d ( x, y )
1.2 收敛函数与连续映射

{ 定义2：设 X 为赋范线性空间，xn }n1 X
如果存在 x0 X ，使得 lim xn x0 0 ， n 则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim xn x0
n
这时也称 x0 为序列 {xn }n1 的极限。

b a
x(t ) dt
2

1 2
例3： X C nn
A m max aij
1i , j n
A (aij ) nn X
（最大值范数）
p
A ( p)
n n aij i 1 j 1

1 2
1 p
(1 p )
AF
n n aij i 1 j 1
n
由收敛序列的定义易知：
(1) 收敛序列的极限唯一；
(2) 收敛序列必为有界序列；
（两集合的距离；集合的直径；有界的条件）
(3)
x
n 1

n
s lim Sn S，其中 Sn xi
n
n
i 1
若 t n || xi || 收敛，称
i 1
n
Sn xi
i 1
定义4 设 X 为赋范线性空间，{xn}n≥1∈X，如 果对 0，自然数，对一切 n,m>N，
均有 ||xm-xn||<，则称 {xn}n≥1 为 X 中
Cauchy 序列
形象而言, 一个序列为 Cauchy 序列, 是指当n
充分大时，序列中点落在一个很小的局部邻域内.
由 Cauchy 序列的定义可推导：
l 空间为 Banach 空间。
p
例4 C[0,1] 关于最大值范数构成 Banach 空间，但 关于积分1-范数不构成 Banach 空间。 例5 P[0,1] 关于 x max x (t ) 不构成 Banach
t[ 0 ,1]
空间。
关于绝对收敛的结论：设X是赋范线性空间，X中每 一个绝对收敛的级数都收敛，当且仅当X是完备的。
令 d ( x, y ) x y ，则 (X, d) 为度量空间。 40 由范数导出的度量满足：
d (x, y ) d ( x, y )
d ( x z, y z ) d ( x, y)
50 度量空间中度量未必均可由范数诱导。 例如： X {(1 , 2 ,, n ,) i C , i 1,2,} 对 x (1,2 ,,n ,) y (1 ,2 ,,n ,) C 令
取 x0 (1,1,0,,0) l , 1
p
y0 (1,1,0,,0) l p
x0 y0 2 ,
p
x0 y0 x0 y0 2
2
x0 y0
2
x0 y0
2 x0

2
y0
2

30 赋范线性空间可构成度量空间；
度量空间：X，如果存在 d： X×XR ，满足
1.4
等价范数
如果存在正实数 a 和 b，使得对一切 xX，均有： a ||x||2 ≤ ||x||1 ≤b ||x||2 则称 ||•||1 与 ||•||2 等价
定义6：设 ||•||1 和 ||•||2 是线性空间 X 中的两个范数，
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列； 20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x； 30 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 (X, ||•||1) 为 Banach 空间 (X, ||•||2) 为 Banach 空间； 40* 有限维空间中任何两种范数都等价。
定义5：如果赋范线性空间 X 中每个 Cauchy序列
都收敛，则称 X 为完备的。完备的赋范线性空间 称为 Banach 空间。如果内积空间是完备的，则 称它为 Hilbert 空间
例1 空间 R 和 C 均为 Banach 空间。
例2 Rn 和 Cn 关于 p 范数构成 Banach 空间。特 别 p=2 时，构成Hilbert空间。 例3
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例 定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间， 如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且 ||x||=0 x=0 (2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
§2 赋范线性空间中点集
2.1 开集与闭集
设 X 为赋范线性空间， x0∈X, 记 B(x0, r)={x | x∈X, ||x-x0||<r} r>0 开球（邻域） 闭球 球面
B ( x0 , r )={x | x∈X, ||x-x0||≤r}
S (x0,
r)={x | x∈X, ||x-x0||=r}
(1) 收敛序列为 Cauchy 序列，反之不真； () 如果 lim
xn x0，则对 0，， n
当 n>N 时， ||xn-x0||< ， 从而 ||xn-xm||=||xn-x0+ x0-xm||≤||xn-x0||+||xm-x0||<2 故 {xn} 为 Cauchy 序列 () 反例：X={(1,2,·)|i∈C，其中仅有有限个 i≠0} · · 对 x=(1,2, ·)，y=(1, 2,·) ∈X，∈ C · · · · 令 x+y=(1+ 1 ,2+ 2 ·) · · x=(1, 2,·) · · ||x||= max i
则称 ||•|| 为 X 上的范数，(X, ||•||) 为赋范线 性空间。
例1： C n {(1 , 2 ,, n ) i C , i 1,2,, n} X K C
对 x (1 , 2 ,, n )，令
x

max i
1 i n
1 P
性质： x A d ( x, A) 0 存在 {xn} A xn→x,x A
(m) ij
a
(0) ij
0
( ( lim aijm ) aij0 ) 0 ( ( lim aijm ) aij0 )
例2：