f (Bδ (x0)) ⊂ Bε ( f (x0)) .
例2.9 设(X, d )为度量空间 , 固定 y0 ∈ X , 则d(� , y0): X→ 是连续泛函 .
2.1. 3 度量空间的映射
定理2.5 设(X, d ), (Y, ρ)是度量空间 , f : X →Y, 则 下列命题等价 : (1) f 连续; (2) 开集的原像是开集 ; (3) 闭集的原像是闭集 ; (4) ∀{xn}⊂ X, 若d(xn, x)→0, 则 ρ( f (xn), f (x))→0, 即若 lim xn = x , 则 lim f ( xn ) = f ( x) . n →∞
2.1.2 度量空间的收敛性和点集
定义2.5 设 ( X, d )为度量空间, A ⊂ X . 设 x ∈ A, 若∃ ε > 0, s.t. Bε (x) ⊂ A, 则称 x 是 A 的内点. ． 若 A 的每个点都是内点, 则称 A 是开集 开集． ． 闭集． (2) 若 AC为开集, 则称 A 为闭集 定理2.2 度量空间 X 中开集和闭集具有如下性质 : (1) 任意个开集之并是开集; (2) 有限个开集之交是开集; (3) 任意个闭集之交是闭集; (4) 有限个闭集之并是闭集．
2.1. 3 度量空间的映射
定义2.10 设( X, d )为度量空间 , T : X →X, 若存在
α ∈[0, 1), 使得 ∀ x, y ∈ X , d(Tx, Ty) ≤ α d(x, y), 则
压缩映射 . 称 T 是 X 上的一个 上的一个压缩映射 压缩映射是连续映射 . 定义2.11 设( X, d )为度量空间 , T : X →X , 如果有
lim xn = x, 或 xn → x (n→ ∞ ), 或 xn → x .
n →∞
设(X, d )为度量空间 , x0 ∈ X, r � 0, 称
Br (x0) ={ x ∈ X | d(x, x0) � r }
为以 x0 为中心以 r 为半径的 开球 或邻域. 为半径的开球 开球或
2.1. 2 度量空间的收敛性和点集
第2章 赋范线 性空间
2.1 度量空间 2.2 赋范线性空间 2.3 内积空间 2.4 函数的最佳平方逼近
2.1 度量空间
2.1.1 度量空间的定义和例子 2.1.2 度量空间的收敛性和点集 2.1.2 度量空间的映射
2.1.1 度量空间的定义和例子
定义2.1 设 X 为非空集 , 映射 d : X × X→ ∀ x, y, z ∈ X, 有 (1) 非负性 d( x, y) ≥ 0, 等号成立当且仅当 x = y ; (2) 对称性 d( x, y) = d( y, x); (3) 三角不等式 d( x, z) ≤ d( x, y) + d( y, z), 度量(或距离函数 ), X 连同其上的 则称 d 为 X 上的 上的度量 度量空间 . 度量即二元对 ( X, d )(或简记为 X )称为 称为度量空间 注 度量空间 X 并不要求是线性空间 . 满足:
2.2 赋范线性空间
2.2.1 赋范线性空间的定义 2.2.2 Cauchy序列与 Banach空间 2.2.3 赋范线性空间中的级数
2.2.1 赋范线性空间的定义
一般线性 利用�3中向量长度的三条性质, 可以给出 可以给出一般线性 空 长度 (范数 )F 间中元素的 间中元素的长度 长度( 范数) 的定义 . 定义2.13 设 上的线性空间 , 如果存在映射 X 是数域 || •||: X→�, 并满足： (1) 非负性 ∀x∈X, ||x|| ≥ 0, 且 || x|| = 0 ⇔ x = 0 ; (2) 齐次性 ∀x ∈X , ∀α ∈ F , || α x|| � |α| ||x|| ; (3) 三角不等式 ∀ x, y ∈ X , || x + y || ≤ ||x|| + || y || , 范数, (X, ||•|| ) 为赋范线性空间, 或简 则称 ||•|| 为 X 上的 上的范数 记为X . 当F � �或� 时分别称为 实或复赋范线性空间. 时分别称为实
⎛ n ⎜∑ ⎝ p i =1
⎛ ∞ d2( x n ξ i − ηi ⎞, y ) = ⎜ ⎛∑ 2 i =1 ξi +ηi ⎟ ≤ ⎝ ξi ⎜∑ ⎠ ⎝ i =1
1 2
则(l , d )是度量空间 .
⎞ ⎞⎟ ⎛ n ⎟⎠ + ⎜ ∑ η i ⎠ ⎝ i =1
p 1p 2
2
⎞ ⎟ . ⎠
1 2
2.2.1 赋范线性空间的定义
T ∀ x = ( ξ , ξ , K , ξ ) ∈ �n , 令 例2.12 1 2 n
x
x
∞
= m ax ξ i ,
1≤ i ≤ n
p
⎛ P⎞ = ⎜ ∑ ξi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
n
1 p
(1 ≤ p < ∞) ,
则 ||•|| ∞ 和 ||•|| p 均为 �n 中的范数, 称 ||•|| ∞ 为�范数, 称 ||•|| p 为 p 范数. 由于范数的定义不同 , 因此 (�n , ||•|| ∞ ) 与 (�n, ||•|| p ) 是两个不同的赋范线性空间 .
d ( x, y ) = max x (t ) − y (t ) .
0≤t ≤1
2.1.1 度量空间的定义和例子
例2.5 设 X 为非空集 , ∀x , y ∈X , 令
⎧0, x = y, d ( x, y ) = ⎨ ⎩1, x ≠ y,
离散空间. 则(X, d ) 是度量空间 , 称为 称为离散空间 例2.6 设(Xi, di) (i =1,2,…,k )为度量空间 , X = X1× X2 ×�× Xk , ∀x =(ξ1,ξ2,…,ξk ), y =(�1,� 2,…,�k)∈X , 令
2.1.1 度量空间的定义和例子
例2.3 ∀x =(ξ1,ξ2,…,ξn ,…), y =(�1,�2,…,�n ,…)∈S, 为 此处S是全体复数列的集合 , S 的度量可以定义 度量可以定义为
ξi −ηi d ( x, y ) = ∑ 2 . 1 + ξi − ηi i =1
∞ −i
例2.4 ∀x, y∈C[0, 1] , 可定义度量
x (t )
∞
= max x (t ) ,
a ≤t ≤b b a
x 1 = ∫ x (t ) d t,
x
2
=
(∫
b
a
x (t ) d t
2
)
1 2
.
2.2.1 赋范线性空间的定义
定义2.14 设 (X, ||•||)为赋范线性空间, 令
(5) x ∈ A ⇔ x 到 A的距离D( x, A) = inf{ d (x, y ) | y ∈ A} = 0 .
2.1.2 度量空间的收敛性和点集
定理2.4 设 A 为度量空间 X 的非空子集, x ∈ X , 则 (1) x∈ A 当且仅当存在序列{xn} ⊂ A, 使 xn → x ; (2) A 为闭集当且仅当∀{xn} ⊂ A, 若 lim xn = x , 则 x ∈ A .
n →∞
2.1. 3 度量空间的映射
例2.10 设(X, d ) 是度量空间 , f : X� 为连续泛函 , 则零空间 f -1{0} 是闭集. 闭球 Br (x0 ) ={ x ∈ X � d(x , x0) ≤ r } 也是闭集 . 定义2.9 设( X, d ), ( Y, ρ ) 均是度量空间 . 若 f : X →Y 是双射, 且 d(x, y) = ρ( f (x), f (y)), ∀x, y ∈ X, 则称 f 是等距映射 . 等距映射是连续映射 . (2) 若存在 X 到 Y 之间的等距映射 , 则称 X 和 Y 是 等距的 .
2.1.1 度量空间的定义和例子
=(�1, �2,…, � n )T∈
⎛ n 2⎞ d ( x , y ) = ⎜ ∑ ξi −ηi ⎟ , ⎝ i =1 ⎠
1 2
n
,令
则它是 X 上的度量 . 例2.2 ∀x =(ξ1,ξ2,…,ξn ,…), y =(�1,�2,…,�n ,…)∈ l p, 令 证明三角不等式要用到 Minkowski 不等式 1
2.2.1 赋范线性空间的定义
T p 例2.13 ∀ x = (ξ1 , ξ 2 , K , ξ n , K ) ∈ l (1 ≤ p < ∞ ), 令
x
p
⎛ P ⎞ = ⎜ ∑ ξi ⎟ , ⎝ i =1 ⎠
∞
1 p
则 ||•|| p 为 l p 中的范数. 例2.14 ∀x(t) ∈C[0,1], 可以定义范数
2.1. 3 度量空间的映射
定义2.8 设(X, d ), (Y, ρ)是两个度量空间 , f : X → Y, x0∈ X . 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得对一切满足 d(x, x0) < δ 的x∈ X , 都有ρ ( f (x) , f (x0)) �ε , 则称 f 在 x0 处连续 ; 若 f 在 X 的每一点都连续 , 则称映射 f 在 X 上连续, 或简称 f 是连续的 ． 是连续的． 显然, f 在 x0 处连续当且仅当 ∀ε >0, ∃δ > 0, s.t.
n →∞
例2.7
中非空有界集的上、下确界必为接触点 .
定义2.7 设 A, B 为度量空间 X 中的子集, 若 A ⊃ B , 则称
A 在 B 中稠密; 若有一个可数集 A 在 X 中稠密, 则称 X 是可分的. 例2.8 在 中是稠密的, 而 是可数集, 故 是可分的. 类似地可以证明 n 和 n 都是可分的．
x* ∈ X , 使 Tx* = x*, 则称 x* 是映射 T 的不动点.
定理2.6 完备度量空间中的压缩映射必有唯一的 ． 不动点 不动点．