第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。

事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。

它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。

因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。

2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。

度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ；（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。

此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。

注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。

当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。

例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。

这种距离是最粗的。

它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。

此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。

例2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。

对()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义 1221(,)()n i i i x y x y ρ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ （2.1） 下面来证),(••ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。

由式（2.1）不难验证),(••ρ满足条件（1），（2）。

为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。

取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有[]1122221111222211(,)()()()()()(,)(,)n n i i i i i i i i n n i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+∑∑∑∑因此，n R 是一距离空间。

(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。

注：若在n R 中规定 11(,)max i i i nx y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ） 则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n n i n na b a b ρξη∞=-=+-∑ （2.2） 那么(,)ρξη是S 上的度量。

式（2.2）通常称为Fr échet 组合。

(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。

事实上，对,ξη及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x x x xϕ=>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-得1111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n na b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤++-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘12n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+因此(,)S ρ是距离空间。

例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义 (,)max ()()a t bf g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。

(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。

对另一连续函数[],,h C a b ∈由[]()()()()()()max ()()max ()() =(,)(,),(,)a tb a t hf tg t f th t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+∀∈ 所以(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1(,)()()p p E f g f t g t dt ρ=-⎰（2.4） 则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。

由 1(,)0(()())0p pE f g f t g t dt ρ=⇒-=⎰ 根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =⋅。

反之，若()()f t g t a e =⋅， 则(,)0f g ρ=。

所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有(,)(,)(,)p p p f g f g f h h g f h h g ρρρ=-≤-+-=+即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。

例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。

对[],,,f g L a b ∞∈定义[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈⊂⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭ （2.5） 则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。

由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。

现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε∀>存在[][]12,,,E a b E a b ⊂⊂且120,mE mE ==使[][]11,,sup ()()(,)2sup ()()(,)2t a b E t a b E f t h t f h h t g t h g ερερ∈-∈--<+-<+从而有[][]{}[][][][]1212121212,,,,,,(,)sup ()() sup()()()() sup ()()sup ()() sup()()sup ()() t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-∈-≤-≤-+-≤-+-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε++令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。

所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。

2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。

【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=L 称点列{}n x 收敛于x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作lim n n x x →∞=或()n x x x →→∞。

度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。

【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}k x x 也收敛于x 。

证明：首先证明定理的第一部分。

设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ∀∈有 (,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明{}n x 最多有一个极限。

其次证明定理的第二部分。

设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。

由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}k n x 收敛于x 。

证毕。

下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。

例2.7 n R 空间中点列{}(){}(0)()()()12,,,m m m n x x x x =L 按度量式（2.1）收敛于{}(){}(0)(0)(0)(0)12,,,n x x x x =L 的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。

证明：⇒对(1)i i n ∀≤≤，由于122()(0)()(0)()(0)1(,)n m m m i i k k k x x x x x x ρ=⎧⎫→≤→=⎨⎬⎩⎭∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。

⇐由于122()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221()n m m m m m k k n n k x x x x x x x x x x ρ=⎧⎫→=→≤→+→++→⎨⎬⎩⎭∑L 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。