第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=AB力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有MA CN ND BM ==,由矢量合成的三角形法则有MA BM BA +=MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

7．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,31 8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=AB()2,8,3--= ()4,6,5---=AD（1）()AD AC AB ,,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T （3）因为()222，，-=BC ，()444--=，，BDk j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯所以()()216161622=-+-=⨯BD BC ，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 习题4.2一、计算题与证明题1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程． 解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得 03=++DC A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x2．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+zy x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程． 解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==AC ABk j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 7．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A8．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()z ,0,0，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得()()()22222232693120+-+-=-+-+z z化简得022974402=+-z z因为()031164229404742<-=⨯⨯--方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

习题4.3一计算题与证明题1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程．解：两已知直线的方向矢分别为()()01101121，，，，，-==v v ，平面与直线平行，则平面的法矢()C B A a ，，=与直线垂直由a ⊥1v ，有00=++B A （1） 由a ⊥2v ，有00=--B A （2） 联立（1），（2）求得0,0==B A ,只有0≠C又因为平面经过点()021，，-P ，代入平面一般方程得 ()00C 2010=+⨯+-⨯+⨯D所以0=D故所求平面方程0=Cz ，即0=z ，也就是xoy 平面。

2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线的方程．解：设所求直线的方向矢为()p n m v ，，=， 直线与平面0123=-+z x 平行，则v ⊥n ，有023=+-p n m （1）直线与直线12341zy x =--=-相交，即共面 则有0200311124=+---p n m所以01287=+--n m （2）由（1），（2）得87137123212821---=-=--pn m ，即31504-=-=p n m 取4=m ，50-=n ，31-=p ，得求作的直线方程为3125041-+=-=-z y x 3．求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程． 解：设通过点)0,0,0(A 的平面方程为0)0()0()0(=-+-+-z C y B x A 即 0=++Cz By Ax (1)又直线141423-=+=-z y x 在平面上，则直线的方向矢v 与平面法矢n 垂直 所以 02=++C B A (2)直线上的点()4,4,3-也在该平面上，则0443=+-C B A （3）由（1），（2），（3）得知，将C B A ,,作为未知数，有非零解的充要条件为0443112x =-z y即01158=--z y x ，这就是求作的平面方程。