此时,称是零向量,记为: 0
例５：
令V是F 上向量空 间 , 取定k F,令 ( ) k( )。
则是V 到V 的一个线一个线性
(0) 0
性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：
(a11 ann ) a1 (1) an (n )
定义6.2.1 设是V 到 W 的一个线性映射，如果V ' V 则： { () | V '} W是W 的一个子集，叫 V '在 之下 的象记作 (V ')。
(2) 是单射ker( )={0}.
证明：
（1）若 是满满射。 W , $ V , ' ( ) = Im( ) 又 Im( ) W , ∴Im( ) = W
反之 : 若Im = W，即 W ，有 ， ( ) . V \是满射.
（2）若 是单射， V ，有 ( ) (),
❖ 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。
现在证明： (V ) 是W的子 空间
, (V ), 则$ , V , ' ( ) , () ,
∵ 是线性变换， a, b F，有 :
a b a ( ) b () (a b) (V )
\ (V )是W的子空间.
说明:
①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。
是 V到 W的一个线性映射：
(1) , V , ( ) ( ) ()
说明(2：) ①定a 义中F,（1）（V2,）称(a为 )映射a的 线(性) 性
质。②定义中（1）（2）成立
a,b F, , V ,有（a b） a ( ) b ();
（加以说明）
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ：
证明：显然 是R2 到R3 的一个映射。
( ) 又 a, b R, x1,x 2 , (y1, y2 ) R2 ,
(a b) a ( ) b () 由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ()
∴ 是R2 到R3 的一个线一个线性
例2．
令 H是V3中经经过原点的一个平面, 对于V3的每每一个向 ，
证明：
x1 y1
.
. xn
,
. .yn
F
n
,
a,
b
F
由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ( );
例4 :
令V 和W是 F上向量空间， V，令W中的零向量与它对应,即： ： 0， 则 是V 到W 的一个线性映射。
证明：
a,b F, , V ,有 :
(a b ) a ( ) b ( );
即: :V U, :U W;
则证明 ， ，是 V到W 的一个线性映射
事实实上令 .， 则 V，有 ( ) . ( )唯一。
∴是V到W的一个线性影射
又a, b F, V, 有 : (a b) a( ) b()
∴ 是V到W的一个线性影射。
说明：
❖推广： 若 , , 都是线是线性映
另一方面，设W ‘ W，则{ V | ( ) W ‘}是V的一个子集， 叫 W ‘在 之下的原象。
定理6.1.1
设V和W是F上的向量空间， 是V到W的一个线性映射. 则V的任意子空间在 之下的象是W 的一个子空间,而W
的任一子空间在之下的原象是 V 的一个子空间.
证明 :
设V 是V的一个子空间,
又 ( ) 0 (0)
\ 0 即 ker( ) (),
反之： V ，且()()， 则( -) 0， \ - 0
与已知 矛盾。
∴ 是单射
说明：
是双射 (1) Im( ) (V),
(2) ker( ) {0}
定理6.1.3：
❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。
证明：
设， ,分别是V 到U和U 到W的线性映射。
则 ( )也是线是线性映 且 ( ) ( )。
定理6.1.4
❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
证明：
设是V 到 W的一个线一个线性映 -1存在，
则 : -1是 到的一个映射，
又 , W , a, b F,
则 : -1 ( )V ,且 : a -1 ( ) b 1 ( )V ,于是 :
② ¢特 别 V在之下的象(V)是的一个子空间一个 的象， 记作Im()..即Im() (V)。
另一方面W，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一
它叫做 的核。记核ker( ) = { V | () 0}。
注意 : Im( ) W , ker( ) V.
定理6.1.2：
设 是 V W 的一个线性映射，则： (1) 是满射 Im( ) W;
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。
§6.1线性映射
定义6.1.1 设V、W是数域，设 F上的两个向量空间，是
V到 W的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
( ) a 1 , 得到 :
a -1 ( ) b -1 ( ) -1 (a b )
\ -1 是 W到V的线线性映射
二、例子
例1．对于R 2每一个向量到 (x1 x2 )，定义 ( ) (x1 x2 , x1 x2 ) R3 则 是 R 2 到 R3的一个线一个线性
令 ( )表示 在平面H上的Z 射影。
证明是V3 V3 的一个线性映射.
证明：由射影性质：
( ) ( ) ( ); (a ) a( );
∴是V3 V3的一个线性映射
例3 :
x1
令A 是 F上一个m n 矩阵阵，对n列空间F n
的每一向量
=
. .xn
，
规定 ( ) F n， 是F n 到F n 的一个线一个线性