西南交通大学2015-2016《数字信号处理》期中试卷及答案西南交通大学2015－2016学年第1学期期中考试阅卷教师签字： 一、选择题：（20分）本题共10个小题，每题回答正确得2分，否则得零分。

每小题所给答案中只有一个是正确的。

1. 若一线性时不变系统当输入为()()x n n δ=时，输出为()()3y n R n =，则当输入为 ()()2u n u n--时，输出为 （ C ）。

A. ()3R n B. ()2R n C. ()()331R n R n +- D. ()()221R n R n +-2.信号11sin()3n 的周期为（ D ）。

A. 3B.6C. 611πD.∞3.已知某序列Z 变换的收敛域为2Z <，则该序列为（ C ）。

A. 有限长序列B. 右边序列C. 左边序列D. 双边序列 4.若()x n 为实序列，()j X e ω是其傅立叶变换，则（ C ）。

A ．()j X e ω的幅度和相位都是ω的偶函数B ．()j X e ω的幅度是ω的奇函数，相位是ω的偶函数C ．()j X e ω的幅度是ω的偶函数，相位是ω的奇函数D ．()j X e ω的幅度和相位都是ω的奇函数5. 对于序列的傅立叶变换而言，其信号的特点是（ C ）A.时域连续非周期，频域连续非周期B.时域离散周期，频域连续非周期C.时域离散非周期，频域连续周期D.时域连续非周期，频域连续周期 6.序列5()()x n R n =，其8点DFT 记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( D )。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 57.已知N 点有限长序列()=[()]X k DFT x n ，则N 点[()]nl N DFT W x n -=（ B ）。

班 级 学 号 姓 名密封装订线密封装订线A.(())()N N X k l R k +B.(())()N N X k l R k -C. kmN W - D. km N W8. 在基2 DIT-FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为9，则倒序后该信号点的序号为（ C ）。

A. 3 B. 5 C. 9 D. 149. 序列()x n 长度为M ，当频率采样点数N<M 时，由频域采样()X k 恢复原序列()x n 时 会产生（ B ）。

A. 频谱泄露B. 时域混叠C. 频域混叠D. 谱间干扰10. 对5 点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向右1 点圆周移位后得到序列( B ) A.［1 3 0 5 2］ B.［2 1 3 0 5］ C.［3 0 5 2 1］ D.［3 0 5 2 0］二、判断题（每题2分，共10分）（对以下各题的说法，认为对的在括号内填“√”，认为错的在括号内填“×”；每小题2分，共10分）1、（ √ ）有限长序列的N 点DFT 相当于该序列的z 变换在单位圆上的N 点等间隔取样。

2、（ × ）任何数字系统的输出都为输入序列和其冲激响应序列的线性卷积和。

3、（ × ）按时间抽取的基2-FFT 与按频率抽取的基2-FFT 的蝶形运算结构相同。

4、（ × ） 一个线性时不变的离散系统，它是稳定系统的充分必要条件是：系统函数H(Z) 的极点在单位圆内。

5. （ √ ）已知离散时间系统()0()[()](5)y n T x n x n n ==-，则该系统为线性时不变系统。

三、（15分）()x n 是10点的有限长实序列，()[()]X k DFT x n =，其中()X k 的前6个点的值为：(0)10X =，(1)54X j =--，(2)32X j =-，(3)13X j =+，(4)25X j =+，(5)62X j =-求：（1）()X k ，k=6，7，8，9时的值；（2）不计算IDFT ，确定下列表达式的值：()()90,n x x n =∑。

解：(1) 因为x (n )是实序列，有X (k )=X *(N －k )，即X (N －k )=X*(k )，且N=10，所以，X （k ）的其余4点值为：{ X (6), X (7) ,X (8), X (9) }={ X *(4), X*(3), X*(2), X*(1) }={2-5j ，1-3j ，3+2j ，-5+4j }(2) 根据()()11N nk Nk x n X k WN--==∑ ()()1N nk N n X k x n W -==∑()()11905N k jx X k N -=-==∑ ()()()9900010nNn n x n x n WX ⋅=====∑∑四、（15分）线性时不变系统的单位脉冲响应为()3()(1)2(2)2(3)h n n n n n δδδδ=+-+-+-， 系统输入序列为()()3x n R n = ，求：（1）系统的输出()()()y n x n h n =*的表达式，并画出其波形；（2）令()c y n 为()x n 和()h n 的循环卷积，循环卷积的长度4L =，求()c y n 。

要求写出()c y n 的表达式，并画出()c y n 的波形。

（3）说明()c y n 与()y n 的关系； 解：(1)[]()()()()()()()3()()()3()(1)2(2)2(3)34162534425y n x n h n n n n n R n n n n n n n δδδδδδδδδδ=*=+-+-+-*=+-+-+-+-+-(2) ()()()()()32211`13221()()76162532131122130c y n x n h n n n n n δδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y(n)与y c(n)在点n=0,1,4,5处不同，因为y c(n)是y(n)以L=4为周期进行延拓，然后取主值序列的结果，由于L=4<6,因此出现了混叠，造成某些样点值的不相等。

1 23 4 5 6 7 0 12 3 4 y(n 5 6 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 yn 5 6 7五、（15分）对于长度为8点的实序列)(n x ，试问如何利用长度为4点的FFT 计算)(n x 的8点DFT ？写出其表达式，并依据表达式补齐如下简图。

（10分）解：780332(21)880033484833(4)4(4)484003348408()()(2)(21)()()()(),0,1,2,3(4)()()()()()(nki rkr kr r rk k rk r r k r k k r k r r rk k rkr r k X k x n W x r Wx r W g r W Wh r WG k W H k k X k g r WWh r Wg r W Wh r W G k W H k =+====+++======++=+=+=+=+=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑),0,1,2,3k =六、（15分）有一调幅信号)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ用DFT 做频谱分析，要求能分辨)(t x a 的所有频率分量，问： ⑴ 抽样频率应为多少赫兹（Hz ）?⑵ 抽样时间间隔应为多少秒（Sec ）? ⑶ 抽样点数应为多少点？解：)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ)5002cos(21)7002cos(21)6002cos(t t t ⨯+⨯+⨯=πππ⑴ 抽样频率应为 Hz f s 14007002=⨯≥。

⑵ 抽样时间间隔应为 ms Sec f T s 71.000071.0140011===≤ ⑶ 61715()()cos(2)cos(2)cos(2)14214214a t nTx n x t n n n πππ===⨯+⨯+⨯ ()x n 为周期序列，周期14N =。

∴抽样点数至少应为14点。

或 因为频率分别为500、600、700 Hz ，得 0100F Hz = 0140014100s f N F === ∴最小记录点数 14N =。

七、（10分)已知序列)()(4n R n x =，求)(n x 的8点DFT 和16点DFT 。

解：求()x n 的DTFT ：()()()()()342222223211s i n 2s i n /2j jn j nn n j j j j j j j j j X ex n ee e e e e e e e e eωωωωωωωωωωωωωω∞--=-∞=-------==-=--=⎛⎫- ⎪⎝⎭=∑∑求)(n x 的8点DFT ：()()28324382sin 2812sin 28sin 2sin 8j k jk jk Xk Xe k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭求)(n x 的16点DFT ：()()216322163162sin 21612sin 216sin 4sin 16j k j k j k X k X e k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭。