导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
3、、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值；0()0f x=x是极值点（2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。
4、导数与不等式。
通过研究函数的最值，进而证明不等式⑴证明不等式f(x)>g(x)在区间A上成立方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求出函数在区间A上的最小值min()0F x>方法二：转化为证明min max()()f xg x>⑵ f(x)>g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。
构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在区间A上的最小值min()0F x>,解此不等式既得参数的范围⑶不等式f(x)>g(x)的解集为空集，求参数取值范围。
构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值min()0F x≤解此不等式既得参数的范围⑷不等式f(x)>g(x)的解集非空，求参数取值范围。
：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值max()0F x>解此不等式既得参数的范围⑸比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在区间A上的最值，若最小值min()0F x≥，则()()f xg x≥；若最大值min()0F x≤，则()()f xg x≤5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨论零点的个数三次函数32()f x ax bx cx d=+++(0)a≠的图像>a0a<≤∆0>∆0≤∆0>∆三次函数是关于M对称的中心对称图三、习题精选：【例1】导数的意义 (特别提醒①利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上②切点处的三 个性质）1、(2010·新课标全国)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为 ( A ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 解析：y ′＝3x 2－2，∴y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为：y －0＝x －1， 即y ＝x －1.2、（2012全国）曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为________【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.3、[2014·广东] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0[解析] ∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜是k ＝－5e 0＝－5，∴切线方程是y －(－2)＝－5(x －0)， 即5x ＋y ＋2＝0. 4、2014课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋12a -x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. 则b= ；分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f ′(1)＝0，即可求出b 的值；解：(1)f ′(x )＝ax＋ (1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. 5、(2011湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B y′＝cos 2x ＋sin 2x （sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x，故切线斜率k ＝y′|x ＝π4＝12，选B.6、[2014·江西] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [解析] 由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知， 令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)． 7、如果质点A 按规律s ＝2t 3(s 的单位是m)运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为 ( C )A ．6 m/sB ．18 m/sC ．54 m/sD ．81 m/s 解析：∵s ′＝6t 2，∴s ′|t ＝3＝54. 8、已知曲线y=1x，则曲线过Q( 1,0 )点处的切线方程为 440x y +-= 9、若直线y ＝3x ＋1是曲线y ＝x 3－a 的一条切线，求实数a= ．解：设切点为P (x 0，y 0)，对y ＝x 3－a 求导数得y ′＝3x 2，∴3x 20＝3，∴x 0＝±1. 当x 0＝1时，∵P (x 0，y 0)在y ＝3x ＋1上，∴y 0＝3×1＋1＝4，即P (1,4)． 又P (1,4)也在y ＝x 3－a 上，∴4＝13－a ，∴a ＝－3；当x 0＝－1时，∵P (x 0，y 0)在y ＝3x ＋1上，∴y 0＝3×(－1)＋1＝－2，即P (－1，－2)．又P (－1，－2)也在y ＝x 3－a 上，∴－2＝(－1)3－a ，∴a ＝1. 综上可知，实数a 的值为－3或1.10．[2014·江苏] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．－3[解析] 易知y ′＝2ax －bx 2.根据题意有⎩⎨⎧－5＝4a ＋b2，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，故a ＋b ＝－3.11、已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1) )处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，则函数y ＝f (x )=解：由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， 知－1＋2f (－1) ＋5＝0，即f (－1)＝－2，f ′(－1)＝－12.∵f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －4，a (1＋b )－2(a ＋6)(1＋b )2＝－12. 解得a ＝2，b ＝3(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式是f (x )＝2x －6x 2＋3. 12、（2010辽宁）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 解析：选D.2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10xxe y e '+≥∴-≤<， 即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈13、设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2.而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34， 当a ＝12时，g (a )min ＝34.a ＝2时，g (a )max ＝3，故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3. 【例2】函数的单调性1、（2014·湖北）函数f (x )＝ln xx的单调递增区间为 ；单调递减区间为解： 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．2、设函数f (x )＝x (e x －1)12-x 2则函数f (x )的单调递增区间 为答案：递增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞ 递减区间为(1,0)-3．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( B ) A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：∵f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x 2＜－3，∴a ≥－3.4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 ( D ）A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即1k x≥在x ∈(1，＋∞)上恒成立．又当x ∈(1，＋∞)时，101x<<，故k ≥1.故选D.5、(2014湖南)若0＜x 1＜x 2＜1，则 ( C )A ．21e e x x －＞ln x 2－ln x 1B ．21e e x x－＜ln x 2－ln x 1 C ．1221e e xxx x > D ．1221e e xxx x <解析：设f (x )＝e x－ln x ，则()e 1x x f x x⋅-'=.当x ＞0且x 趋近于0时，x ·e x －1＜0；当x ＝1时，x ·e x －1＞0，因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，因此A ，B 不正确；设()e xg x x=，当0＜x ＜1时，()2(1)e 0x x g x x -'=<，所以g (x )在(0,1)上为减函数．所以g (x 1)＞g (x 2)， 即1212e e x x x x >，所以1221e e x x x x >.故选C. 6、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得：f ′(x )＝2mx ＋1x －2在(0，＋∞)上有f ′(x )≥0恒成立，所以2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥2x －1x 2在(0，＋∞)上恒成立，设t (x )＝－1x 2＋2x＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1，只要求出t (x )在(0，＋∞)上的最大值即可．而当1x＝1，即x ＝1时，t (x )max ＝1，所以2m ≥1，即m ≥12. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 7、已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0得e x ≥a ，当a ≤0时，有f ′(x )＞0在R 上恒成立； 当a ＞0时，有x ≥ln a . 综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＞0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)． (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 故当a ≤0时，f (x )在定义域R 内单调递增．8、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .设函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围． 解析：若函数在区间⎝⎛⎭⎫－23，－13内是减函数，则说明f ′(x )＝3x 2＋ 2ax ＋1＝0两根在区间⎝⎛⎭⎫－23，－13外，由此f ′⎝⎛⎭⎫－23≤0，且f ′⎝⎛⎭⎫－13≤0，由此可以解得a ≥2.因此a 的取值范围是[2，＋∞) 或用变量分离法9、【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f (x )= e x －ax －2求f (x )的单调区间【例3】函数的极值与最值1、函数f (x )＝x 3－3x 2＋2的极大值是 2 极小值是 2-解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝22、(2014北京)已知函数f (x )＝2x 3－3x .，则f (x )在区间[－2,1]上的最大值为解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3， 令f ′(x )＝0，得2x =或2x =.因为f (－2)＝－10，(2f -=，2f =，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为(2f -=. 3、函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是_______________ 3[0,]24、(2014陕西)设函数()ln ef x x x=+，则f (x )的极小值为解析：()e ln f x x x =+，则()2ex f x x-'＝，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2， ∴f (x )的极小值为2. 5、已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么函数在[－2,2]上的最小值 是( A )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大．∴m ＝3，从而f (－2)＝－37， f (2)＝－5. ∴最小值为－37.6、函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 ( B ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3)解析：令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a ＞0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3＜1，∴0＜a ＜32. 7、∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( A )A ．a ＜－1B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1.8、y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1， 则a 的值等于( D )A.14B.13 C.12D ．1解析：∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a ＞12，∴0＜1a＜2.令f ′(x )＞0，则x ＜1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递增；令f ′(x )＜0，则x ＞1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，2上递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1. 9、函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1 f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 解： f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点；当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意知，2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3.②①式无解，②式的解为54＜a ＜53， 因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 或用二次函数根的分布做此题10、（2013年福建）已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;【答案】解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得()1xaf x e'=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =. (Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. 11、(2014四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；分析：(1)先利用求导求出g (x )的解析式，再求出其导函数g ′(x )，根据a 的不同取值分类讨论g ′(x )的符 号变化，判断其单调性，从而求其最值；解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当12a ≤时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当e2a ≥时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当1e22a ≤≤时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当12a ≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当1e22a ≤≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当e2a ≥时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .【例4】导数与函数的零点1、若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( A )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值． 要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2.（或转换成两个函数的图像来做）2、(2014课标全国Ⅰ12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是 ( C )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意；当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a =处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，但这时零点x 0一定小于0，不合题意；当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a =，这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a =处取得极小值2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，且这时零点x 0一 定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．3、已知函数2()ln f x x x x =-+．判断函数()f x 零点的个数； 解： 2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x--'∴=-+=-令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0>x ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴ 函数()f x 只有一个零点． 4、(2014陕西)设函数()ln mf x x x=+，m ∈R .， 讨论函数()()3xg x f x '-＝零点的个数； 解析：由题设()()2133x m xg x f x x x ='-=-- (x ＞0)，令g (x )＝0，得313m x x =-+(x ＞0)，设31()3x m x x ϕ=-+(x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为2(1)3ϕ=. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知 ①当23m >时，函数g (x )无零点； ②当23m =时，函数g (x )有且只有一个零点；③当203m <<时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当23m >时，函数g (x )无零点； 当23m =或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当203m <<时，函数g (x )有两个零点． 5、(2014北京 )已知函数f (x )＝2x 3－3x .若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；解析：设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--， 因此2000(63)(1)t y x x -=--． 整理得32004630x x t -++=，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)． g所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点， 所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点， 所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0， 所以g (x )分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和 (1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．【例5】导数与不等式1、已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c . 若f (x )在x ＝1时取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解：由题意，x ＝1是方程3x 2－x ＋b ＝0的一个根，设另一根为x 0，则⎩⎨⎧x 0＋1＝13，x 0×1＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，b ＝－2， ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－x －2，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )＜0；x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； ∴当x ＝－23时，f (x )有极大值2227＋c ，又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，即当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c ，∵对x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立， ∴c 2＞2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2， 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2、已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上 是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，可知x ＝0和x ＝1是 f ′(x )＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′⎝⎛⎭⎫12＝32，得f ′⎝⎛⎭⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ，即x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ](m ＞0)上恒成立，∴0＜m ≤12. 3、当ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围．解：设函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． f ′(x )＝1x－a .∵x ＞0，所以当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a ≤0时，f (x )＝ln x －ax ＜0在(0，＋∞)上不恒成立当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上f ′(x )＝1x －a ＞0， f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上f ′(x )＝1x －a ＜0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数．f (x )在x ＝1a 处取得最大值ln 1a －1，因此ln 1a －1＜0，即a ＞1e时，f (x )＜ln x －ax ＜0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立．所以当ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 4、设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4.(或看做函数x 来做)5、(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( C )．A ．[－5，－3]B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时， 不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立． (1) 当x ＝0时，a ∈R .(2) 当0＜x ≤1时，由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x=--，则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==. 当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1]上单调递增． 当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3) 当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x≤--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减， 在(－ 1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C. 【例6】用导数比较大小设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题． 【解】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间。