三．线性系统的相平面分析 一阶线性系统自由运动微分方程为
相轨迹方程为 设系统初始条件为 ，则
相轨迹图下图所示
二阶线性系统自由运动微分方程为
当b>0 时，上述方程可表示为
特征根为 相轨迹微分方程为
令
得到等倾线方程
当a2-4b>0，且b≠0时，可得满足 k=a 的两条特殊 的等倾线，其斜率为
该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上 相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊 的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会
若令
dy 常数a dx
f ( x , y) y a 0 等倾线方程
满足相轨迹上的切线斜率为a
相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。 ⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 ( x0 , y0 ) 沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似） ⑵画图步骤：
脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程 参数 b<0, b=0 和 b>0 的三种不同情况具体 讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。 ① b<0。 系统特征根
s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。
由图可知，图中两条特殊 的等倾线是相轨迹，也是 其他相轨迹的渐近线。 当初始条件位于 对应的相轨迹上时，系统 的运动将趋于原点，但 只要受到微小扰动，运动 将偏离该轨迹，并沿着 相轨迹方向发散。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
①稳定的极限环 如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。 因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
f ( x, x)=ax bx g ( x, x)
高阶无穷小量 g ( x, x) 可以省略，得到
x +ax bx 0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面 上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面 的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
若用比例环节 k =1 代替 死区特性，即无死区影 响时，线性二阶系统相 轨迹如图中虚线所示。 可以比较出死区特性对 系统运动的影响。
(2) 具有饱和特性的非线性控制系统
图中系统初始状态为零，且
下面分别研究系统在 r (t)=R· 1(t) 和 r (t)=V0 t 作用下的相轨迹。 1） r (t)=R· 1(t) 。
●
系统特征根为两个相等的负实根。取 其相平面图如下。与 相比，相轨迹的特殊 等倾线蜕化为一条。
●
系统微分方程为
特征根为两个共轭虚根 ，系统临界稳定， 过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为
积分后得到相轨迹方程为
●
设
系统微分方程为
特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统 不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为
dx dx / dt x f ( x , x) a dx dx / dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称 的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
) f ( x , x ) f (x , x ) f ( x , x ) f (x , x f ( x , x) f ( x , x )
因此b<0时，系统是不稳 定的。
② b=0。 系统特征根s1=0，s2= -a 相轨迹方程为
两边积分可得相轨迹方程
相平面图如下所示，相轨迹为过初始点 斜率为-a的直线。当a>0时，相轨迹收敛 并最终停止在 c 轴上；a<0时，相轨迹发散。
③ b>0。由前面可知当b>0时，方程可以表示 为 可得
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在 x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x 的平均值 xav近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增 量 t 。 x t xav
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
取
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作为状态变量，
因为
，
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相 轨迹分析结果，可得奇点类型 区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( ); 区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点， 相轨迹沿直线收敛； 区域 I：奇点(△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心 螺旋线( ); 由零初始条件 得到e(0)=R, 和 。相轨迹如下图所示：
A 为常数
相轨迹方程为
等倾线方程为
为一簇平行于横轴的直线，其斜率 k 为零。当 a=0 得 ，即为特殊的等倾线(k=a=0)。 对于线性区域的奇点，求得为原点，且其特征根 为负实部共轭复根，所以奇点是稳定焦点。由初 始条件可知，e(0)=R， 。取R=2，绘制相 轨迹如图所示。
2） r (t)=V0(t) 。
i.等斜线方程:
i.等斜线分布图. 1 1 .2 1 .1 ii.相轨迹 A点 a1 1 过点 A, a1
2
n 2 1 y x x 2n a 1 a
直线段交 a2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质 1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
§3-3 相平面法
相平面法是基于时域的一种图解分析方法。 是状态空间法在二维情况下的应用。 一、相平面的基本概念 二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)
f ( x, x ) 0 来描述。 x 一般可用常微分方程
式中，设输入信号为零，x 表示系统中的某一个物
) 是 x 和 x 理量， f ( x , x 的解析函数。
根据 的选取，可以分为以下几种情况：
●
设
系统微分方程为
特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统 稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。 其等倾线方程为
●
特征根为两个不相等的负实根，
系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条 特殊的等倾线，其斜率为
相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特 殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之 外，相轨迹最终将沿着 的方向趋于原 点。
，设初始条件为 ( x0 , y0 )
x 2 x0
整理上式并积分
1 2 1 2 2 2 ( y y 0 ) n ( x0 x 2 ) 2 2

y
y0
ydy n xdx
2 2 2 2
n x 2 y 2 n x0 y0
A x0 2 y0
2
x y 1 2 2 A ( n A)
) 控制系统的任一动态过程可由状态变量 ( x , x 来表示。
为横轴和纵轴构成的坐标平 1.相平面:以x 和 x 面.
2.相点:相平面上任一点
) ( x, x
3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x

M1
x
M
2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
在线性区间，奇点
为稳定能够的焦点。
负饱和区和正饱和区内渐近线分别为
当V0=1.2 > KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.3,0) 为稳定焦点，且为虚奇点；饱和区内渐近线都位 于相平面的上半平面，相轨迹如下图所示 。
当V0=0.4 < KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.1,0) 为稳定焦点，且为实奇点；渐近线分别位于相平 面的上下半平面，相轨迹收敛于(0.1,0)，系统地 稳态误差为0.1，相轨迹如下图所示 。
i.求出等倾线方程 ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai ai 1 ai 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
2 例如 x 2 n x n x 0
令 0.5 , n 1
●
设
系统微分方程为
特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定， 过渡过程为非周期发散。等倾线方程为
●
系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的 等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。
四．非线性系统的相平面分析
一般非线性系统利用分段线性微分方程来描述。 1）分段列写非线性系统微分方程
2）在相平面上确定每一个微分方程所在区域 及开关线。 3）按照线性系统相轨迹的作法，分段求解相 轨迹方程。 4）在开关线上做好两条相轨迹的链接。注意， 下一条相轨迹的初始条件是上一条相轨迹的终 止条件。

dy dt dt f ( x , y ) dt dx dx

dy f ( x , y ) dx y
直接积分,便解出相轨迹方程
并由此画出相轨迹。
f ( x) yx
例：如无阻尼二阶系统 n 2 x 0 x