h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 (n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x4 x3 3x2 5x 2 0
其根为：x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1(n) (c1 c2n c3n2 )(1)n, h2 (n) c4 2n
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i 和k-2个不同实根 x3 , , xk
则差分方程的通解为：
h(n) c1 n cos n c2 n sin c3x3n
其中 2 2 , arctan .
ck xkn
例3.设初始值为h(0) 1,h(1) 0,h(2) 1,h(3) 2 ，求差分方程
k 0

其中z是复变量，因此级数 x(k) zk 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X (z) 的Z反变换记作 x(k) Z 1[X (z)]
1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数

(k
)

1, k 0, k
0 0
的Z变换为

Z[ (k)] (k) zk [1 zk ]k0 1 k 0
差分方程模型
1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2), , h(n), ，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在 桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上， 但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。
ak 0 (2)
称为差分方程（1）的特征方程。
方程（2）的k个根 q1, q2 , , qk 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1, )
的特征根 q1, q2 , , qk 互不相同，则该差分方程的通解为：
k 0
za
2. Z变换的性质
(1)线性性
设 Z[x1(k)] X1(z), Z[x2 (k)] X2 (z),则
同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小
兔也按此规律繁殖。设第n月末共有 h(n) 对兔子，试建立关于h(n)
的差分方程。
解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外 一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
移动an1 次，于是得差分方程：
aa1n
2an1 1
1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，
解之得:
Байду номын сангаас
7
1
2
c1 9 ,c 2 3 ,c3 0,c4 9
故所求初值问题的特解为：
h(n) ( 7 1 n)(1)n 2 2n
93
9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
设有离散函数（数列）x(k),(k 0,1, 2,
) ，则 x(k) 的Z变换
定义为

X (z) Z[x(k )] x(k ) zk
(2)单位阶跃函数
U
(k)

0, k 1, k

0 0
的变换为


Z[U (k)] U (k) zk zk
z
(| z | 1)
k0
k0
z 1
(3)单边指数函数 f (k) ak (a 0且a 1) 的变换为

Z[ak ] ak zk
z
(|z| a)
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2, ,t) 是特征方程的 mi 重根，则该
差分方程的通解为： h(n) h1(n) h2 (n)
其中 h1(n) (c1 c2n cmi nmi1)qin
t
ht (n) hi (n) i1
定理3 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1, )
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) akh(n k) 0 (n k, k 1, ) (1)
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 , , ak
是常数，且 ak 0.
方程
xk a1 xk 1 a2 xk 2
h(n) c1q1n c2q2n ck qkn
其中 c1 , c2 , , ck 为任意常数。
定理2 设 q1, q2 , , qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) akh(n k) 0 ak 0 (n k,k 1, )
故通解为
h(n) h1(n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
代入初始条件有
c1 c4 1
c1c1 2cc
2 2
c3 2c4 0 4c3 4c4 1
c1 3c 2 9c3 8c4 2