小学数学几何五大模型教
师版
The following text is amended on 12 November 2020.
几何五大模型一、五大模型简介
（1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S
1：S
2
=a:b；
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S
1：S
2
=a:b；
4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S
△ACD =S
△BCD
；反之，如果
S
△ACD =S
△BCD
，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上或AB 、AC 延长线上的点
则有：S △ABC ：S △ADE =（AB×AC）：（AD×AE）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE ，根据等积变化模型知，S △ADE ：S △ABE =AD ：AB 、S △ABE ：S △CBE =AE ：CE ，所以S △ABE ：S △ABC =S △ABE ：（S △ABE +S △CBE ）=AE ：AC ，因此S △ADE ：S △ABC =（S △ADE ：S △ABE ）×（S △ABE ：S △ABC ）=（AD ：AB ）×（AE ：AC ）。
例、如图在ΔABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB ：AD=5:2，AE ：EC=3:2，△ADE 的面积为12平方厘米，求ΔABC 的面积。
（3）蝴蝶模型
1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
例、如图，梯形ABCD ，AB 与CD 平行，对角线AC 、BD 交于点O ，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC 平行DE这样的一对平行线！
例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少
（5）燕尾模型
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：
S
△ABG ：S
△ACG
=S
△BGE
：S
△CGE
=BE：CE
S
△BGA ：S
△BGC
=S
△GAF
：S
△GCF
=AF：CF
S
△AGC ：S
△BGC
=S
△AGD
：S
△BGD
=AD：BD
例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。
二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少
例2、如图，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求
△FGS的面积。
（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少
例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。
（4）相似模型
例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。
（5）燕尾模型
例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。
例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影
△GHI面积的几倍
例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC 的面积是1，求四边形CDMF的面积。