(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.
485
85
B.6985
C ．－15
15
D ．0
解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－15
15
.
答案：C
2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点
E 、
F 、
G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )
A ．2BA ·AC
B ．2AD ·BD
C ．2FG ·CA
D ．2EF ·CB
解析： 〈AD ，BD 〉＝π3，∴2AD ·BD ＝2a 2
×cos π3＝a 2.
答案：B
3．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；③对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (其中x 、y 、z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不．正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
解析：易知只有①是正确的，其中对于③，若O ∉平面ABC ，则OA 、OB 、OC 不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．
答案：B
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点．那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值为( )
A.
105
B.
155
C.4
5
D.23
解析：如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，F (1,0,0)，
O (1,1,0)，E (0,2,1)，设OE 和FD 1所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈OE ，
1FD 〉|
＝|OE ·1FD ||OE ||1FD |＝15
5.
答案：B
5．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、
c 三向量共面，则实数λ等于( )
A.62
7 B.637 C.64
7
D.657
解析：由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝ma ＋nb ，即有⎩⎪⎨⎪
⎧
7＝2m －n 5＝－m ＋4n
λ＝3m －2n ，
解得m ＝337，n ＝177，λ＝65
7.
答案：D
6.二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )
A ．2a B.5a C ．a
D.3a
解析：∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，
∴〈AC ，BD 〉＝60°，且AC ·BA ＝0，AB ·BD ＝0， ∴CD ＝CA ＋AB ＋BD ，∴|CD |＝CA ＋AB ＋BD
2
＝a 2
＋a 2
＋2a 2
＋2a ·2a cos120°＝2a .
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．若A 、B 两点的坐标分别是A (3cos θ，3sin θ，1)，B (2cos α，2sin α，1)，则|AB |
的取值范围是________．
解析：法一：|AB |2
＝(3cos θ－2cos α)2
＋(3sin θ－2sin α)2
＋0＝13－12cos(θ－α)，∵|cos(θ－α)|≤1，
∴|AB |2
∈[1,25]，即|AB |∈[1,5]．
法二：点A 、B 在同一平面内，且可以分别看作是有共同圆心(0,0)和半径分别为3和2的圆上的点，故|AB |max ＝5，|AB |min ＝1.
答案：[1,5]
8．(2011·泰安模拟)已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN ＝________.
解析：如图，MN ＝1
2(MB ＋MC )
＝1
2[(OB －OM )＋(OC －OM )] ＝1
2(OB ＋OC －2OM ) ＝1
2(OB ＋OC －OA ) ＝1
2(b ＋c －a ) 答案：1
2
(b ＋c －a )
9．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(1A A ＋11A D ＋11A B )2
＝311A B 2
；
②1A C ·(11A B －1A A )＝0；
③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；
④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |. 其中正确命题的序号是________．
解析：①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2
＝1A A 2
＋11A D 2
＋11A B 2
＝3(11A B )2
，故①正确；
②中11A B －1A A ＝1AB ，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确； ③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°， 但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确； ④中|AB ·1AA ·AD |＝0，故④也不正确．
答案：①② 三、解答题
10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02
＋－5
2
＋52
＝5 2.
(2)假设存在一点E 满足题意，即AE ＝t AB (t ≠0)．
OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4
－2t )．
若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝9
5，因
此存在点E ，使得OE ⊥b ，
此时点E 的坐标为(－65，－145，2
5
)．
11.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ∪平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD
与平面α成30°角，求C 、D 间的距离．
解：∵AC ⊥α，∴AC ⊥AB ， ∴CA ·AB ＝0，
过D 作DD ′⊥α于点D ′，则DD ′∥CA ， ∴〈CA ，BD 〉＝120°， ∴CA ·BD ＝－1
2，又AB ⊥BD ，
∴AB ·BD ＝0，
∴|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2
＝1＋1＋1＋2×(－12)＝2，
∴|CD |＝2，即C 、D 间的距离为 2.
12．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；
(2)若|a |＝3且a 分别与AB 、AC 垂直，求向量a 的坐标． 解：AB ＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)． (1)因为
cos 〈AB ，AC 〉＝
AB ·AC
| AB |·|AC |
＝
－2＋3＋6
4＋1＋9·1＋9＋4＝12
.
所以sin 〈AB ，AC 〉＝
32
. 所以S ＝|AB |·|AC |sin 〈AB ，AC 〉＝7 3. 即以AB 、AC 为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB ，a ⊥AC ，
可得⎩⎪⎨⎪
⎧ x 2＋y 2＋z 2
＝3－2x －y ＋3z ＝0
x －3y ＋2z ＝0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1y ＝1z ＝1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1y ＝－1，z ＝－1
所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．。