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2020高考数学 公开课一等奖课件
3.常见的升幂变换是:cos 2α=2cos2 α-1=1-2sin2 α;常见 1-cos 2α 1+cos 2α 2 2 的降幂变换是:sin α= ,cos α= . 2 2 4.利用辅助角公式将含两项的三角函数式化成一个三角函数 的形式:asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)= a2+b2cos(α-φ),这 是研究三角函数性质的非常重要的思想方法, 也是历年高考的热点 内容. 5.不仅能正用三角公式,而且能逆用和变用公式,也是三角 变换的重要手段.
y=sin
预习测评 1.(2014 年长春一模) 函数 f (x)=(sin x+cos x)2 的一条对称轴的方 程是( )
A.x= 4
B.x= 3
C.x= 2
D.x=π
【答案】A
2.设 a=2sin 24° ,b=2(sin 47° sin 66° -sin 24° sin 43° ),c=sin 85° + 3 cos 95° ,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
5 3 10 正解:∵α、β 均为锐角,∴由 sin α= ,cos β= 得 cos α 5 10 2 5 10 = ,sin β= .且 0<α+β<π. 5 10 2 5 3 10 5 10 于是 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= · - · = 5 10 5 10 2 .故选 C. 2 答案:C 纠错心得:在经过讨论得到 0<α+β<π 后,仅仅求出 sin(α+β) 的值是不够的,应求 cos(α+β)的值,才能得出正确答案.
2.函数 y=3sin(x-10° )+5sin(x+50° )的最大值是( 11 A.8 B.7 C. 34 D. 12
)
【答案】B
知识点 3 三角变换的综合应用 【例 3】 已知 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0, 则 cos(β-γ)=( ) 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 思路点拨:将 sin α 和 cos α 移到右边,两式分别平方后相加 即可得答案.
【答案】-2
知识点 2
辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)=
a2+b2cos(x-φ)的应用 1 2 3 【例 2】 已知函数 y= cos x+ sin xcos x+1.x∈R. 2 2 (1)当自变量 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)求函数的单调递增区间. 思路点拨:将函数变形成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式再求解.
错解: 5 3 10 ∵sin α= ,cos β= . 5 10 2 5 10 ∴cos α= ,sin β= . 5 10 5 3 10 2 5 10 于是,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= · + · 5 10 5 10 2 = .故选 A. 2 2 错因分析:在得到 sin(α+β)= 后,应讨论 α+β 的范围. 2
Байду номын сангаас
解: 1 2 3 1 1+cos 2x 3 1 (1)y=2cos x+ 2 sin xcos x+1=2× + 2 ×2sin 2x+ 2 5 1 π 5 1 3 1 1=2 sin 2x+ cos 2x+4=2sin2x+6+4. 2 2 π π π 当函数 y 取得最大值时,2x+6=2kπ+2(k∈Z)即 x=kπ+6(k π ∈Z).故 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为x|x=6+kπ,k∈Z. π π π π π (2)由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ-3≤x≤kπ+6(k π π ∈Z),故函数的单调递增区间是kπ-3,kπ+6(k∈Z).
典例剖析 知识点 1 利用三角变换求值 【例 1】 不查表计算 tan 54° -tan 36° -2tan 18° =________. 思路点拨: 注意 54° +36° =90° , 54° =36° +18° , 36° =2×18° , 尝试用三角变换的公式进行变形求解.
【答案】 0
cos 10° 1.化简(tan 10° - 3) =________. sin 50°
【答案】D
3.cos 75° =________.
6- 2 【答案】 4
tan 45° +tan 15° 4. =________. 1-tan 15°
【答案】
3
要点阐释 1. 半角公式可如下进行推导, 由 cos 2α=cos2 α-sin2α 的变形 cos 1-cos 2α 2 2 2 2α=2cos α-1 及 cos 2α=1-2sin α 得到 sin α= 及 cos2α= 2 1+cos 2α 1-cos α α α , 再以 代替 α、 以 α 代替 2α 即可得到 sin =± ; 2 2 2 2 1+cos α α α cos = ± , 最 后 将 这 两 个 式 子 相 除 就 得 到 tan = 2 2 2 1-cos α α ± .特别要注意,公式前的“± ”号由 所在的象限确定,如 2 1+cos α α α α=240° 时, =120° ,sin 应该为正. 2 2 2.进行三角恒等变换主要看式子的特点,从名称与角上整体把 握,根据角与名称选择适当公式解决.
课堂总结 1.常数代换是三角恒等变换的一个重要手段,如 1=sin2 α+ 1 1 π 2 π π cos2α、 =sin 30° 、 =cos 、 =sin =cos . 2 2 3 2 4 4 2.角的变换是解答某些试题的关键,常见的角变换有:α=(α α+β α-β +β)-β=β-(β-α), β= - , 2α=(α+β)+(α-β)=(α+β) 2 2 α -β α+β β α β α -(β-α), =α- - -β, =α+ - +β. 2 2 2 2 2 2
自学导引
1-cos α α α ± 2 ; 1.用 cos α 表示 的正弦、余弦、正切是:sin =_________ 2 2 1+cos α 1-cos α ± α α ± 2 1+cos α cos =__________;tan =______________. 2 2
2.几个公式的变形: 1-cos α 2 α ①sin = ; 2 2 1+cos α 2 α ②cos = ; 2 2 1-cos α 2α ③tan = ; 2 1+cos α 1-cos α α sin α ④tan = = . 2 1+cos α sin α
自主探究 用什么方法才能求函数
y=sin
1 1 x+ cos x+ 的最值? 2 2
1 1 x+2cos x+2的最值,先将 y 解: 用三角变换能求 1 1 1 1 = sin x+2 cos x+2 化为 y=sin xcos x+2(sin x+cos x)+4, π 然后令 sin x+cos x=t,即 t= 2sinx+4,可见- 2≤t≤ 2. t2-1 t2-1 1 1 1 12 3 于是 sin xcos x= 2 ,y= 2 +2t+4=2t+2 -8. 1 3 故当 t=-2时,函数有最小值-8; 3+2 2 当 t= 2时,函数有最大值 4 .
方法点评:根据两个已知等式及待求式子 cos(β-γ)的特点, 应将 sin α 和 cos α 移到右边, 再平方后将其消去. 在得到 1+2(cos 1 βcos γ+sin βcos γ)+1=1,即 cos βcos γ+sin βsin γ=- 后,逆用 2 公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 就得到正确答案.
【解析】由 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0 得, sin β+sin γ=-sin α,cos β+cos γ=-cos α.将这两个等式两边分 别平方得,sin2 β+2sin βsin γ+sin2 γ=sin2α,cos2β+2cos βcos γ+ cos2γ=cos2α. 两式相加得,1+2(cos βcos γ+sin βsin γ)+1=1,得 cos(β-γ) 1 =- .故选 A. 2 【答案】A
3.在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,且 4sin B+3cos A=1, 则 C 的大小为( ) A.30° B.150° C.30° 或 150° D.60° 或 120°
【答案】A
误区解密 不考虑角的范围而出错 5 3 10 【例题】 设 α、β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= ,则 5 10 α+β 的值为( ) π 3π 3π π π A. 或 B. C. D.2kπ+ (k∈Z) 4 4 4 4 4