23 6 23 6 2306
a) 简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
b) 十进制与二进制:
十进制:89
89= 1× 2 +0× 2 + 1 × 2 + 1 × 2 +0×2 +0×2 +1×2
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1: 来源于代数 i: 来源于几何
π: 来源于分析
i
1：实数单位
i：虚数单位
0：唯一中性数
3.和谐美
例2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
i
e
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
黄金分割点体现了美与实用，沟通了人 与自然
3.和谐美
例2 e与π
3.14159265358979323846
e 2.71828182845904523536
猜测：
1.每隔10位数就会出现同样的数字; 2. π的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有π的前n位数字。
3.和谐美
例2 e与π
2 1 0 6 5 4 3
二进制:1011001
十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人 工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便机 器运算,但系统简单. ★二进制与最简单的自然现象(信号的 两极)结合,造就了计算机！
例2.其它符号的简洁美： i)未知量：x,y,z ii)已知量：π,e, a,b,c
2.对称美
海伦公式
v) 数学公式中的对称
S s s a s b s c
其中 s a b c 2
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
2 2 f x12 x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 对称多项式
2.对称美
c) 作为多面体的足球
亚正多面体中
的一种—— 足球多
面体，它的侧面由 正五边形和正六边 形组成。
5) 问题
---什么是“对称”的共性与本质？
（变中有不变）
---如何用数学语言描述“对称”？
（“对称即群”）
a) 平面图形的对称
K1
K2
K3
K4
K5
K6
问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？
i)在运动中看 “对称”
可以把“平面图形的对称” —— 轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的 运动分为三类：
反射
旋转 平移
ii) 从不变性看“对称”
这些运动都是变换；这些变换共同的特点
是：都保持平面上任意两点间的距离不变。所
以，把反射、旋转、平移，以及它们的
相继实施，统称为
“保距变换”。
变中有不变
注意，在上述“保距变换”的定义下,“不动”也是 一种“保距变换”,它可以看成旋转0o的“保距变换”,也 可以看成平移 a=0 的“保距变换”.这样，任何平面图形 都会在某种“保距变换”下不变,因为它至少在“不动”
x1 x2 x3
y1 1 0 y2 1 y3 1
c)
平面上所有直线一般形式： ax by c 0 平面上所有二次曲线一般形式： ax 2bxy cy dx ey f 0
2 2
其性质和类型取决三个量： a b a b h a c, , b c b c d e d e f
★群的应用是十分广泛的。例如关于晶体的分
类，物理学家、化学家、晶体学家进行了很多 研究，最后用群的理论给出了结论：晶体只有 230种可能的结构。
★
统一与和谐美是数学美的又一侧面，它 比对称美具有广泛性。 几何与代数的和谐与统一的表现为:
★
解析几何（点与坐标、曲线曲面与方 程、行列式与矩阵…）
3.和谐美
享了1996年度诺贝尔化学奖。
1996年诺贝尔化学奖得主
克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-)
斯莫利 ( R. E. Smalley,1943-2005)
1996年诺贝尔 化学奖得主
柯尔（Robert F. Curl Jr.1933-）
福勒 （R.B. Fuller 1895-1983)
2.对称美
2）文学中的对称

上联对下联： 明月 --> 清泉 （自然景物）


明-->清（形容词）
月-->泉 （名词）
明 月 松 间 照
清 泉 石 上 流
2.对称美
3）数学中的对称
i) 几何：点对称、线对称、面对称 球面被认为是最完美的曲面！ ii) 代数与函数论：共轭（共轭复数、共轭空间） iii) 运算：交换律、函数与反函数运算、 微分积分运算 iv) 命题变换：命题、逆命题、否命题、逆否命题
序言



法国艺术家罗丹说过：美无处不在，对于 我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。 数学美学一词产生于18世纪后半叶, 据 《美学史》所载:美的概念和人类的美感 起源至少得早于苏格拉底时代。 本讲让我们一起领略、探究数学之美。
数学美学


一.美学的基本内涵 二.数学美的类型 1.简洁美 2.对称美 3.和谐美 4.奇异美
例3. 代数与几何之和谐
a）平面上过点(x1, y1),(x2, y2)的直线 方程:
x x1 x2
y
1
y1 1 0 y2 1
b) 平面上过点(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3)的圆方程: 2 2 x y x y 1
x y x y x y
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
S (K1 ) S (K2 )
K1 的对称性强于 K2
iii) 抽象观点与具体例子的对照
S (K1 ) S (K2 ) 8 S (K3 ) 12 S (K4 ) 6 S (K5 ) 2 S (K6 ) 1
正三角形与正方形谁更对称一些？
S ( K2 ) 8
S (K4 ) 6
3.和谐美
例2 e与π
因此 cos i sin 与ei 具有同样的结构， 我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
b)富勒烯的发现
1985，自英国的天文学家克鲁托（H. W. Kroto）， 和美国物理学家斯莫利（R. E. Smalley），柯尔（R. F. Curl）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨 宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期 的合作过程中意外地发现：在强烈的激光脉冲辐照下产 生的碳团簇中，C60具有超常的稳定性。他们的努力是 制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足 球”！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共
一. 美学的基本内涵


行为的基本准则——审美动机 社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
--- 现实生活中美的事物，对其不同表现 形式有不同的形容：壮美、俊美、秀美、 柔美、优美； ---数学美也呈现多样性，一般地，分为：
简洁美、对称美、和谐美和奇异美。
1)简洁美是人们最欣赏的一种 美，在艺术、建筑、徽标等的 设计中最为常见。中国画更是
答：正方形比正三角形更对称一些。
b)
小结
从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质，
再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放
到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来
描述K的对称性；最后，把其中元素的个数，作为衡量平面 图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子验 证理论。

对称是数学中十分重要的一个观点 对称观点的理论表述就是“群” 群是一种代数体系 “群论”是一个重要的数学分支，有广 泛的 应用
2.对称美
1）我们身边的对称
2.对称美
对称 非对称
照镜子 照哈哈镜
夫妻 父子
比赛循环赛 比赛淘汰制
足球 非对称战争
2.对称美
阿拉伯建筑物的外墙
美国哈佛大学曾发表一份 研究报告称，伊斯兰世界对数 学有过重要贡献。研究人员认 为，中世纪伊斯兰世界的外墙 砖设计图案说明它们的设计者 掌握了西方世界500年后才掌 握的数学概念。
体现了简洁美。
---数学以简洁而著称！
2）简洁美的例子
例1.大数和小数的表示：
10
221
，2
86243
，10
-900
•数的表示：所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表 示.(称为阿拉伯数字,事实上是由印度人发明的. 由阿拉伯人传到西方.)形式上和位置上意义非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出现大约要晚好几百年.
iii)函数关系：f(x), g(x,y)
iv)形状符号：
其它符号的简洁美：
v) vi) 函数与逻辑： 0 v c, 牛顿第一定律 F
d F ( mv ), 牛顿第二定律 dt m1m2 F k ，万有引力定律 2 r
d 运算符号：，，，，sin,cos, , dx