牛顿——莱布尼兹公式
积分形式：当 内，则 在
x a
（45）
( x) f (t )dt
上连续时，若 在 x f (t ) [a, b] 在 上可微，且
[ a, b]
( a, b)

x
a
f (t )dt (a) (b)
微积分的伟大意义 1、对数学自身的作用
（46）
（1）牛顿、莱布尼兹17世纪创立的微积 分存在明显的逻辑缺陷； （2）18世纪的数学家在微积提供的思维 和工具的基础上阔步前进，迅速创立了 许多数学分支； （3）微积分的严密逻辑基础也在19世纪 完善地建立起来。
（43）
（二）解析几何与微积分
1. 公元16世纪笛卡尔创立了解析 几何. 2、 解析几何的精华在于把几何 曲线用代数方程来表示，同时又 利用代数的研究方法来研究几何。 3、许多复杂的几何问题可以通 过解析方法解决。
（44）
由蜘蛛网产生灵感的笛卡尔
笛卡尔创造的解析几何为天文、 航海等技术奠定了坚实的基础。 1621年笛卡尔退役后，他就移民荷 兰，开始潜心思考数学和数形结 合的问题。 笛卡尔为什么能对数学产生浓厚 兴趣？
（39）
（二）、映射法
（40）
运算可以视为一种变换或映射，映 射之后再映射过来。主要通过以下步骤实 现：
关系—— 映射——定映—— 反演
——得解
经历了一个“否定之否定”的程序
（三）、抽象方法
（41）
A 具体化与抽象化是相伴存在的,只 有对具体的深入认识才能更好地抽象。 B 去掉的东西越多，表面抽象程度 越高，就越能反映问题的本质。
数学家对欧拉的评价
（7）
拉普拉斯：读读欧拉，他是我们每一个 人的老师。 高斯：欧拉的工作研究将仍旧是对于实 现的不同范围的最好的学校，并且没有 任何别的可以代替它。 克莱因：没有一个人像他那样多产，像 他那样巧妙地把握数学；也没有一个人 能从采集和利用代数，几何分析的手段 去产生那么多令人钦佩的结果。他是一 个顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练 的巨匠。
外国学者对数学美的评价（二）
（5）
英国哲学家、数学家罗素：实现，如果正确 地看他，不但拥有真理，而且也具有至高的 美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合 我们无性脆弱的方面，这种美没有绘画或者 音乐那样华丽的装饰，它可以纯净地崇高 的 地步，能够达到只有伟大的艺术才能谱写的 那样完满的境地。
中国学者对数学美的评价
（五）许多有趣的数
（36）
A 魔术数： 如果一个数接写在另一个 数的后面，所得到得新数 能被这个数 整除，则这个数称为魔术数。 B 缺8数 C 史密斯数：如果一个合数可以表示成 几个素数的积，这些数的各位数字之和 等于这个合数的各位数字之和，称具有 这种性质的数为史密斯数。
（六）多边形数
三角形数：1，3，6 正方形数：1，4，9 五边形数：1， 5， 12
三、数学史上的几大奇观
（一）尺规作图
2i
（42。 n k k B 正 边形尺规作图的充要条件 2 p1 p2 ps n2 p1 , p2 , ps 是 或 ， 其中 是费马素 数 C 几何作图的三大难题： （1）化圆为方 （2）倍立方体
3、好恶不同的“四”
（21）
固有四书 四大古典名著 民间四大传说 汉字书 法四体
（22）
4.吉祥与魔鬼数字“六” 全国统一后定为6郡 咸阳建270宫殿 皇车用6 匹马拉
5.
最神秘的“七”
（23）
佛教认为：万物皆七种 原： 地、水、火、风、空、 识、根
6、吉祥幸运的“八” （24）
第一章
数学美学
（1）
赞美诗
我赞美那与我日夜相守的 数字、字母、符号、式子和图形， 像浮在可知轻轻飘荡的五色花瓣 萦绕在我的脑海之中； 像一个个流动的金属音符， 碰撞发出一串串清脆丁冬之声； 像钢琴上的键盘， 弹奏出悦耳的谐音； 像一道划破长空的闪电， 将我的灵感的引线接通。
（ 3）
教学要点
数学美
（ 2）
数学美不同类型

数记趣
正整
第一节 数学美
外国学者对数学美 的评价（一）
（ 4）
古希腊学者毕达哥拉斯：美就是和谐，整个 天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数 组成的， 因而构成整个宇宙的 美。 英国数学家怀特海：作为人类精神最原始的 创造，只有音乐堪与实现媲美，只有取得过 实习财富的少数人，才能尝到数学的“特殊 乐趣”。
n n
n m
n 1 0 n c1 ab c b n n
n
n
杨辉三角形 （15）
1 1 1 1
1 1 1 1 6 5 4 3 2 3
1
1 1
6 4 1 10 10 5 20 15 6
15
和 平面上过点
x x1 x2 y y1 y2
谐 和美
( x1 , y1 )
2 命题变换：原命题与逆否命题等效，逆命
题与否命题也等效。 3数学概念上也存在对偶关系 ： 任 lim x 存在 何 0 有某个 N 0使得对任何 n, m N 有 x x lim x 不存在的对偶说法是只要将上述表述 中的任何改换为某，同时将某改换为任 何，不等式中将不等号改向。
1.欧拉公式 ： 2 i e 1 （8）
2.卓越而奇妙的等式： e 1 0
3、问题：
ii
i
这个数是虚数还是实数？
（ 9）
五猴分桃
5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它 们商量决定：先睡一觉再分。过了不知多久， 来了一只猴子，它见别的猴子没来，便将这 一堆桃子平均分成5份，结果多出1个，就将 多的这个吃了，拿走其中的1堆。又过了不知 多久，第2只猴子，它不知道有1个同伴已经 来过，还以为自己是第一个到的呢。于是将 地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多 出1个，同样吃了这1个桃子，拿走其中的1堆。 第3只，第4只，第5只猴子都是这样，……问 这5只猴子至少摘了多少桃子？第5只猴子走 后还数多少个桃子？
（37）
二、数学方法的优美
（38）
数学归纳法是数学方法之一。这种通过有限 步骤去认识无限的方法确实是意味深长。 观点与方法是两个不同的方面，密切相关又 相互影响。 数学方法影响数学观念。
（一）、反证法
首先假定结论不成立，其 次通过一定的推导得出矛盾， 从而说明：结论不成立时不 可能的。
若正整数M的全部正因子（去掉其 本身）之和，恰好为自然数N，而N 的全部正因子（去掉其本身）之和 恰好为正整数M,则称M,N为一对亲 和数。 “我中有您，您中有我”的亲密无 间的“相亲数”。
（二）亲和数 （33）
（三）、勾股弦数
2 2 2
（34）
1. 把满足不定方程 a b c 的正整数a，b，c称为勾股弦数。 2.许多的勾股数可由以下公式求 得：
2、对其他自然科学和工程技术的 作用
（47）
（1）“数理不分家”这句话在有了微积分 之后就有了真实的意义； （2）微积分的创立得到了天文学的启示； （3）微积分成了物理学的基本语言，许多 物理学问题要依靠微积分来寻求解答。
3、对人类物质文明的影响
（48）
（1）从机械到材料力学，从大坝到电站的建设， 都要利用微积分的思想和方法； （2）有了微积分和万有引力原理之后，人们就 预见了人造卫星和宇宙分行的可能，利用微 积分计算宇宙速度； （3）今天人类广泛的经济活动中，微积分也成 了必不可少的工具。
（49）
（4)、对人类文化的影响
（1）微积分不仅影响哲学的方法，也影响 到世界观； （2）辩证唯物主义更关注数学； （3）马克思：“有空我也研究微积分”。 （4）恩格斯：“数学中的转折点是变数。 有了变数，运动进入了数学，有了变数， 辩证法进入数学， 有了变数，微分学和 积分学也就立刻成为必要”。
（6）
• 现代著名数学家徐利治：所谓数学美得含义是 丰富的。数学概念的简单性、统一性；结构系 统的协调性、对称性；数学命题与数学模型的 概括性、典型性和普通性。还有数学中的奇异 性等，都是数学美的具体内容。 • 香港旅美数学家、菲尔茨奖获得者丘比桐：数 学家寻找美的境界，讲求简单的定律，解决实 际问题，而这些因素都是永远不会远离世界。 即实现有取之不尽的源泉。
横写的“8”为无限大， 意味着事业成功、生活幸 福、爱情美满。
7.中华民族崇尚 的“九”
（25）
“九天”“九州”“九重” “九庙”“九巅”“九 河”“九泉”“九陌” “九品”
8.索洛图城偏爱 的数“十一”
（26）
教堂、喷泉、塔楼、 消防水龙头、博物馆、 银行、饭店、高级议员
9.受人青眛的“ 十二”
十二地支、十二生肖、十二
（27）
时辰。
十二金钗、十二平均律。 十二个月、十二小时。
13.风靡西方的 十三恐怖症
（28）
1970年4月11日发射的 美国“阿波罗13号” 宇宙飞船的爆炸
14.吉祥神秘的 “百零八”
（29）
人生有108种烦恼，为清除 这些烦恼，规定贯珠108颗， 念佛108篇，晓钟108声。
2 2 2 n n n
n 3, 4
三、正整数记趣
（19）
1.“从无到有”与“黑暗的一” 道生一，一生二，二生三，三生天 地，天地生阴阳，阴阳生万物。 1万称为黑暗，1万万则是黑暗的 黑暗。
2. 走向成功的“三”
（20）
戴布劳格林的三大原则：广见闻、 多阅读、勤实践 陈景润的学习要有三心：信心、决 心、恒心 卢俊把读书分为三个步骤：储存、 比较、批判
第二节 数字美
毕达哥拉斯说: 数统治着世界。 伯克霍夫说：整数的简单构成， 一直是使数学获得新生的源泉。
（30）