四 应用1 几何应用例42（大连理工）求曲线32,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。
解 曲线上任意一点切线的切向量为)3,2,1(2t t -，平面的法向量为)1,2,1(，由题设得0)1,2,1()3,2,1(2=⋅-t t ，解之得1=t ，或31=t 。
当1=t 时，切点为)1,1,1(-，切向量为)3,2,1(-，所以切线方程为112111-=-+=-z y x 。
当31=t 时，切点为)271,91,31(-，切向量为)31,32,1(-，所以切线方程为312713291131-=-+=-z y x ，即9127619313-=-+=-z y x 。
例43（北京科技大学2001）求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++,1,22222y xy x ze y x z在点)0,1,1(-P 处的切线与法平面方程。
解 记1),,(,2),,(2222-++=-++=y xy x z y x G ze y x z y x F z，则1022),(),(=++=∂∂Pzz Pyx ze e y z y G F ，同理可得0),(),(,1),(),(=∂∂=∂∂PPy x G F x z G F ，因此，曲线在点)0,1,1(-的切线方程和法平面方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0,1111z y x 和0=+y x 。
思考题12（北京科技大学1999）求曲线⎩⎨⎧=++=++,0,6222z y x z y x 在点)1,2,1(-P 处的切线与法平面方程。
思考题13（四川大学2000）求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程。
例44（武汉水利电力学院）已知平面p nz my lx =++与椭球面1222222=++cz b y a x 相切，证明：2222222p n c m b l a =++。
证 设已知平面与椭球面的切点为),,(000z y x ，则过该点的切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z cz y y b y x x a x ， 即1202020=++z cz y b y x a x ，这样它与p nz my lx =++表示同一个平面，因此有0≠p ，且 p n cz p m b y p l a x ===202020,,， 又p nz my lx =++000，从而有2000000222222)(p n z m y l x p pn z pm y pl x n c m b l a =++=++=++。
例45（浙江理工大学，东北师范大学）证明：若函数),(v u F 有连续的偏导数，则曲面S ：0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的切平面都平行于直线L ：nzm y l x ==。
证 曲面0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的法向量为),,(),,(y x y u z y x mF lF nF nF F F F --=，直线L 的切向量为),,(n m l ，于是0)(),,(),,(=--++=⋅y x y x z y x mF lF n mnF nlF n m l F F F ，此说明曲面S 上任一点处的切平面都平行于直线L 。
例46（长沙铁道学院）求过直线⎩⎨⎧=-+=-+,0,272210z y x z y x 与曲面273222=-+z y x 相切的切平面方程。
解 过直线⎩⎨⎧=-+=-+,0,272210z y x z y x 的平面方程为0)(272210=-++--+z y x z y x λ，其法向量为)2,2,10(λλλ--++。
设曲面上的切点为),,(000z y x ，则该点的切平面法向量为),,3(000z y x -，于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-++++=+=+,273,27)2()2()10(,22310202020000000z y x z y x z y x λλλλλλ 解之得1,1,1,3000-====λz y x ，或 19,17,17,3000-=-=-=-=λz y x ，故所求的切平面方程为279=-+z y x ，或 2717179-=-+z y x 。
2 函数的极值与最值多元函数最值问题较一元函数复杂，难点在于边界曲线上极值的计算。
例47（中国人民大学2000）证明：函数()()yyyex e y x f z -+==cos 1,有无穷多个极大值，但无极小值．证 ()()x e f yx sin 1-+=，()y y e y x f --=1cos ，令⎩⎨⎧==,0,0yx f f 得稳定点()()1cos ,,-=ππn n y x n n ，Z n ∈．()x e f y xx cos 1+-=，()y yy e y x f --=2cos ，x e f y xy sin -=，当n 为偶数时，022>=-=∆xy yy xx f f f ，02<-=xx f ，故f 在()0,2πk 上取极大值，当n 为奇数时()01222<+-=-=∆--e e f f f xy yy xx此处无极值，故f 为无穷多个极大值无极小值．例48（北京科技大学2001）求函数928222+--+=y x y x z 在D ：1222≤+y x 上的最大值和最小值。
解 22,84-=-=y z x z y x ，令其为零得1,2==y x ，点D ∉)1,2(，故z 在D 上的最大最小值只能在D 的边界1222=+y x 上取到。
于是问题转化为：求1028+--=y x z 在条件1222=+y x 下的最大最小值。
构造Lagrange 乘法函数)12(102822-+-+--=y x y x L λ，求L 的所有偏导数，并令其等于零得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--,012,022,04822y x y x λλ 解之得,31,32==y x 或 31,32-=-=y x ， 代入得4,16min max ==z z 。
思考题14（北京科技大学1998）求函数xy y x y x f 2),(22+-=在有界区域122≤+y x 上的最大值和最小值。
例49（华中师大2001）设),(y x f z =在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且0,022222≠∂∂∂=∂∂+∂∂y x zyz x z 。
（1） 证明：),(y x f z =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。
证 由于),(y x f z =在有界闭区域D 上连续，故必存在最大最小值，因此只需证：D 内任意点不可能是极值点，由二元函数极值的充分条件知，只需证：在D 内恒有0)(2<-xy yy xx f f f 。
事实上，由已知条件（1）得0)()()(222<--=-xy xx xy yy xx f f f f f 。
思考题15（西北工业大学）在平面上求一点，使它与n 个定点的距离之平方和最小。
3 条件极值条件极值问题有时可转化为无条件极值来计算，但有时这种转化很繁，或不可能，因此必须使用Lagrange 乘数法。
此时的最大困难是方程组的求解和极值的判别。
当方程组的解唯一时，往往可根据实际意义去判断；有时这种判别是十分困难的，需要较高的技巧；当求最值时，而根据实际意义最值一定存在，这时可直接计算其值，然后比较大小即可。
例50（厦门大学）求函数()444,,z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值．该极值是极大值还是极小值？为什么？解 令()()1,,,444-+++=xyz z y x z y x L λλ，则043=+=yz x L x λ，043=+=xz y L y λ，043=+=xy z L z λ， .01=-=xyz L λ解之得四组解：()1,1,1，()1,1,1--，()1,1,1--，()1,1,1--．在这些点上，()3,,=z y x f ．又在1=xyz 上，()3131,,344444444=⋅⋅≥++=yx y x y x y x z y x f ，且当 44441yx y x ==，即z y x ==时取等号，四组解均为极小值．例51（清华大学2000）求函数xz ky z y x f +=3),,(在条件0,1222≥=++z z y x 下的最大值和最小值。
解 Lagrange 乘法函数为)1(2223-++++=z y x xz ky L λ，求L 的偏导数，并令它们等于零得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=,01,02,023,022222z y x L z x L y ky L x z L z y xλλλλ由第一和第三个方程得0=x ，或21±=λ。
因此，当0=k 时，解为 ,0,22=±==y z x 或 ,0,22,22==±=y z x 或 1,0±===y z x 。
当0≠k 时，若31≥k ，则解为1,0±===y z x ，或 ,0,22=±==y z x或 ,0,22,22==±=y z x 或 ky k kz x 31,219312±=-=±=， 当31<k 时，解为 ,0,22=±==y z x 或 ,0,22,22==±=y z x 又f 为有界闭区域0,1222≥=++z z y x 上的连续函数，所以最大最小值一定存在，因此，当0=k 时，其边界上函数值为零，从而最大值为21，最小值为21-；当0≠k 时，其最大值与最小值仍然是21与21-，因此，所求的最大最小值21与21-。
例52（武汉大学2000）求函数222),,(z y x z y x f ++=在1=++cz by ax 下的最小值。
解 令)1(),,,(222-+++++=cz by ax z y x z y x L λλ，则1,2,2,2-++=+=+=+=cz by ax L c z L b y L a x L z y x λλλλ，令0====λL L L L z y x 得唯一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=,,,222222222c b a c z c b a b y c b a a x 显然f 有最小值，而稳定点唯一，故该点即为最小值点，因此最小值为222222222222222min 1)()()(cb ac b a c c b a b c b a a f ++=++++++++=。
例53（复旦大学1999）已知222cz by ax u ++=，其中0,0,0>>>c b a 。