1第1讲集合及其运算
最新考纲 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
知识梳理
1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示关系
文字语言符号语言集合间的基本
关系
相等
集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素
A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的交集
集合的并集集合的补集图形
语言
符号
语言A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
4.集合的运算性质
并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．
交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．
补集的性质：
A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .(2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.
(3)已知集合A ＝{x |mx ＝1}，B ＝{1，2}，且A ⊆B ，则实数m ＝1或m ＝12.(4)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()
A．[－2，－1]B．[－1，2)C．[－1，1]D．[1，2)
3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()
A．0B．1C．2D．3
4．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(∁R A)∩B＝________．
5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
考点一集合的含义
【例1】(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()
A．4B．2C．0D．0或4
(2)已知a∈R，b∈R a，b
a，1{a2，a＋b，0}，则a2016＋b2016＝________．
【训练1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1B．3C．5D．9
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
考点二集合间的基本关系
【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________．
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，则m＝__________．
2
3【训练2】(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是()
A ．A ＝
B B ．A ∩B ＝∅
C ．A ⊆B
D ．B ⊆A (2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．考点三集合的基本运算
【例3】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝(
)
A ．{－1，0，1，2}
B ．{－2，－1，0，1}
C ．{0，1}
D ．{－1，0}(2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中
阴影部分表
示的集合为(
)A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}【训练3】(1)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝()
A ．∅
B ．{2}
C ．{5}
D ．{2，5}(2)设集合M ＝{x |－1≤x ＜2}，N ＝{y |y ＜a }，若M ∩N ≠∅，则实数a 的取值范围一定是()A ．[－1，2)B ．(－∞，2]C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)微型专题集合背景下的新定义问题
以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：
(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．
(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．
【例4】设集合M x |m ≤x ≤m ＋34N x |
n －13≤x ≤n M ，N 都是集合{0|0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是()
A.
13 B.23 C.112 D.512
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝()
A．(－2，1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)
2．设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()
A．4B．5C．6D．7
3．若集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则集合A∪B＝()
A．{1}B．{1，2}
C．{－1，1，2}D．{－1，1，－2}
4．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个
5．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∪Q＝R
6．设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()
A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)
7．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为() A．{－1，0，1}B．{－1，1}C．{－1，0}D．{0，1}
8．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()
4
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则集合(∁U B)∩A＝__________．10．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为__________．11．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
12．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围是__________．
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．设集合M＝{(x，y)|y＝lg x}，N＝{x|y＝lg x}，则下列结论中正确的是()
A．M∩N≠∅B．M∩N＝∅C．M∪N＝N D．M∪N＝M
14．已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()
A．(0，1]B．[1，＋∞)
C．(0，1)D．(1，＋∞)
16．已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P y|y＝1
x，x＞2∁U P＝__________．
5
17．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝b x＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．
6。