2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义知识点总结及例题讲解一、集合的含义1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a∉A.3.常见的数集及表示符号【例1】①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．【例2】①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2 C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 0,1,2 [∵63－x ∈N ， ∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.][1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．[思路点拨] A 中含有两个元素：1和a 2―――→a ∈Aa ＝1或a 2＝a ―――→求a 的值检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.二、集合的表示方法1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．2．区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b：(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间；(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)；(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．【例1】() A．1B．2C．3D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解． (1)B [集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.](2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用大括号括起来.1．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .[解] 对任意a ∈A ，有|a |∈B ，因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}．【例2】(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．[解](1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．角度一【例3】若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝()A. －4B. 0C. 4D. 0或－4A [依题意，得关于x 的方程ax 2＋ax －1＝0只有一个实根，所以⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝0，即⎩⎨⎧ a ≠0，a 2＋4a ＝0，解得a ＝－4，选A.]在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3．若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，则实数a 的取值范围是________．[0,4) [当a ＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋ax ＋1＝0无实数解，则需Δ＝a 2－4a ＜0，即a (a －4)＜0，依题意，得⎩⎨⎧ a >0，a －4<0，或⎩⎨⎧a <0，a －4>0，解得0<a <4，综上，得0≤a <4.] 角度二 对参数分类讨论问题【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合．(2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，A 中有且只有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．当a ＝0时，对应方程为一次方程，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意； 当a ≠0时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，符合题意．综上所述，a 的取值集合为{0,1}．(2)由题意知，A 中至多有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a ＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，即A 中无元素，符合题意．综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集. (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).提醒：一般地，集合{x |f (x )＝0}表示方程f (x )＝0的解集；,{x |f (x )＞0}表示不等式f (x )＞0的解集；,{x |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中x 的取值的集合；,{y |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中y 的取值的集合.4．若A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }＝∅，求a 的取值范围．[解] 因为A ＝∅，则集合A 无元素，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，所以a ≠0，且Δ＜0，即⎩⎨⎧ a ≠0，4－4a ＜0，解得a ＞1，所以a 的取值范围为{a |a ＞1}．1．∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．1．下列说法正确的是()A．0∈∅B．∅＝{0}C．∅中元素的个数为0 D．∅没有子集C[空集是不含任何元素的集合，故∅中元素的个数为0.]2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.] 4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1且x≠2}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)三、集合的基本关系1.维恩图一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．维恩图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C.①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.③若A⊆B，A≠B，则A B.a 的值．[解] A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1.集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅.1．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需⎩⎨⎧ a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．【例(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．[解] (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.2．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32A[这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]【例3】①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.](2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A 与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的方法(1)用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A ⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示．]1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝∅，故选D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P⊆T B．P∈TC．P＝T D．P TA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，故选A.]3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是()B[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N M，故选B.]4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围________．[4，＋∞)[∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]四、交集和并集1．交集2．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．3．并集与交集的运算性质【例1】B等于() A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.]1．求集合交集的运算的方法(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1D[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]【例22＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5} [A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．][1．设A ，B 是两个集合，若A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，则集合A 与B 具有什么关系？提示：A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .2．若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ，B 间存在怎样的关系？提示：若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ＝B .【例3】 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路点拨] A ∪B ＝A ――――→等价转化B ⊆A ――→分B ＝∅和B ≠∅建立k 的不等关系――→求交集得k 的范围[解] (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧ －3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k ≤52.1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧ －3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．思考辨析(1)集合A ∪B 中的元素个数就是集合A 和集合B 中的所有元素的个数和．( )(2)当集合A 与集合B 没有公共元素时，集合A 与集合B 就没有交集.( ) (3)若A ∪B ＝A ∪C ，则B ＝C .( ) (4)A ∩B ⊆A ∪B . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知集合M ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{0,1}B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝() A．{1}B．{2}C．{－1,2}D．{1,2,3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．] 4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b ＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．五、补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集【例1】(1)U，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]求集合的补集的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝______.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]【例R∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A ＝{1,3,9}，B ＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B )∩A ＝{1,9}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}，∴∁U B ＝{1,4,6,7,9}． 又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴B ＝{2,3,5,8}．∵(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}， ∴A ＝{1,3,9}.[1．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∩B ＝∅，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：B ⊆A .2．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∪B ＝U ，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：A ⊆B .【例3】 设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 法一：由A 求∁U A ―――――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系法二：(∁U A )∩B ＝∅――――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }． 因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2， 所以m 的取值范围是{m |m ≥2}．法二(集合间的关系)：由(∁U A)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}D[∵∁U A＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．{x |－2<x ≤1} B ．{x |x ≤－4} C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}， 所以∁R S ＝{x |x ≤－2}． 而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值．[解] 由已知，得－1∈U ，且－1∉P ，因此⎩⎨⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}， P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意． 因此实数a 的值为2.近2年高考真题1.(2019全国Ⅰ理)已知集合，则=A ．B ．C ．D ．2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)3.(2019全国Ⅲ理)已知集合，则A ．B ．C ．D ．4.（2019江苏）已知集合，，则 .5.（2019浙江）已知全集，集合，，则}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，MN }{43x x -<<}42{x x -<<-}{22x x -<<}{23x x <<2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，A B ={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,2{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B ={}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-U ABðA ．B ．C ．D ．6.(2019天津理1)设集合，则A. B. C. D.答案解析1.解析：依题意可得， 所以 故选C ．2.解析：由，，则.故选A.3.解析 因为，，所以．故选A ．4.解析 因为，， 所以.5.解析：，.故选A ．6.解析 设集合，， 则.又， 所以.故选D.{}1-{}0,1?{}1,2,3-{}1,0,1,3-{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …()A C B ={}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,42426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜，2|}2{M N x x =-I ＜＜．{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞{}10(,1)A x x =-<=-∞(,1)A B =-∞{}1,0,1,2A =-2{|1}{|11}B x x x x ==-剟?{}1,0,1AB =-{}1,0,1,6A =-{}|0,B x x x =>∈R {}{}{}1,0,1,6|0,1,6AB x x x =->∈=R {1,3}U A =-ð{1}U A B =-ð{}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R …{}1,2A C ={}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==1．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}2．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =R ð A ．{12}-<<x x B ．{12}-≤≤x x C ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x3．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．(2018天津)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x << 5．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则 A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}答案解析1．A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}AB =，故选A ．2．B 【解析】因为2{20}=-->A x x x ，所以2{|20}=--R ≤A x x x ð{|12}=-≤≤x x ，故选B ．3．C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}AB =．故选C ．4．B 【解析】因为{1}B x x =≥，所以{|1}R B x x =<ð，因为{02}A x x =<<，=U A ð所以()=R I A B ð{|01}x x <<，故选B ．5．C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以{2，4，5}．故选C ．高考模拟题1、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，集合{}B 24x x =-<<，则(A B)UC ⋃=（ ） A.B.C.D.2、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}- 3、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））若集合=<-=<<-=B A x x B x x A 求},09|{},25|{2（ ）A ．}23|{<<-x xB ．}25|{<<-x xC ．}33|{<<-x xD ．}35|{<<-x x4、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））己知集合A ＝ ，则（ ）A.x|x<2或x ≥6}B.x|x ≤2或x ≥6C.x|x<2或x ≥10}D.x|x ≤2或x ≥105、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =（ ）A ．1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B ．1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|01N x x =≤<D ．1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭6、（深圳市2019届高三第二次（4月）调研）已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( ).=U A ðA. (,2](0,)-∞-+∞UB. (,2][2,)-∞-+∞UC. [3,)+∞D. (0,)+∞7、（雷州市2019届高三上学期期末）设集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{>-=x x x B ，则=B AA ．}2|{≤x xB ．}3|{<x xC ．}32|{<<x xD ．}32|{<≤x x8、（茂名市2019届高三上期末）已知集合A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛x ｜x 2一7x+10≤0｝，则A ∩B ＝（ ）A 、{1，3｝B 、｛3，5}C 、{5，7｝D 、{1，7｝9、（清远市2019届高三上期末）设集合{}20≤≤∈=x R x M ，{}0)1)(3(<+-∈=x x Z x N ，则=N MA ． []2,0B ． ()3,1-C ． {}1D ． {}2,1,010、（广州市天河区2019高考二模）已知全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |x （x +2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |﹣1≤x ＜0}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}D ．{x |x ＜﹣1}答案1、A2、D3、A4、D5、A6、A7、B8、B9、D 10、A。