(1) f ( x) 0;
(2) f ( x)dx F ( x), f ( x)dx S ( x); (3) f ( x)dx 1.
0 0 w x x w
第二节 剩余寿命
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称(T ( x) t ) t qx , t 0.
剩余寿命的方差：
0
o

0
t
px dt
w x
Var (T ( x)) E (T ( x) 2 ) E (T ( x)) 2 2
例.已知 s ( x) (1
0
t
0
t
px dt ex
o 2
x ) 0 x 100 计算： 100 1) Pr( X 40 | X 10)
寿命的生存函数
随机变量X的生存函数
S ( x) Pr( X x) 1 F ( x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1) S (0) 1;
(2) S ( w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr( x X z ) s( x) s( z )
（1）刚出生婴儿活过60岁的概率；
x 例 假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 , 0 x 100.求： 100
（2）刚出生婴儿在70~80岁间死亡的概率； （3）活到40岁的人活不到70岁的概率；
寿命的密度函数
f ( x) F ( x) S ( x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率； 满足属性：
剩余寿命的生存函数
ST ( x ) (t ) Pr(T ( x) t ) Pr( X t x | X x) S (x t) t px 1 t qx S ( x)
特别地.
(1) x p0 S ( x); (2) px 1 px ;
(3) t|u qx t px t u px t px u qx t
x Bc x
S ( x) exp{ B(c x 1) / ln c}, B 0,c 1,x 0
中值余寿(m(x))是余寿T(x)的中值
Pr[T ( x) m( x)] Pr[T ( x) m( x)]
均匀分布下
1 2
1 e x ex 2
0
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
S ( x ) S ( x h) S ( x) f ( x) x lim (ln S ( x)) h 0 h S ( x) S ( x) S ( x)
2) 10 p40， e40
第三节 整值剩余寿命
(x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
K ( X ) k,
整值余寿的分布函数
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr(T ( x) k 1) k 1 qx
整值余寿的生存函数
例. 如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力 提高到0.06，求25岁的人未来的期望存活时间。 在未来25年内的期望存活时间
第五节 有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
1 x x S ( x) 1
Gompertze模型(1825)
x

,
0 x
死亡效力曲线称为“浴盆曲线” 死亡效力与生存函数关系：
S ( x) exp{ s ds}
0
t
x
px exp{
x t
x
s ds} exp{ s x ds}
0
t
1 , 求 t px ,5|5 q20 . 例 设死亡力度 x 1 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数
Pr( K ( X ) k ) Pr(T ( x) k 1) k 1 px
整值余寿的密度函数
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1) k qx
k
qx k 1 qx k qx k px k 1 px k px qx k
f ( x) x S ( x) x exp{ s ds}
0
x
S ( x) S ( x t ) G (t ) t qx 1 t px S ( x) d d S ( x) S ( x t ) S ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt S ( x) S ( x)
整值余寿的期望与方差 整值剩余寿命的期望值
w x 1 k 0
ex E ( K ( x))
整值剩余寿命的方差
k
k
px qx k

w x 1

k 0
k 1
px
2 Var[ K ( x)] E[ K 2 ( x)] E 2 [ K ( x)] (2k 1) k 1 px ex k 0
t
qx Pr(T ( x) t ) Pr ( X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t ); (2)1 qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u ) Pr ( x t X x t u X x ) S ( x t ) S ( x t u) S ( x)
120 x 例 假设某人群的生存函数为 S ( x) , 0 x 120.求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
w x
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 e x
o
ex E (T ( x)) t fT (t )dt