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死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
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人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 1
21
41
61
年龄
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人类死亡效力的规律
人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆 状结构， 被称为“浴盆曲线”。
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6
解2.1
(1) Pr(X 50) F(50) 1 S(50) 100 50 1 100 2
(2) Pr(X 80) S(80) 100 80 1 100 5
(3) Pr(60 X 70) Pr( X 60) Pr( X 70) S(60) S(70) 1 10
间去世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
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已经活到x岁的人，简记为(x) ， 还能继续 存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 T(x)的概率分布函数G(t)为：
G(t) Pr(T (X ) t),t 0
它正是x岁的人在t时间内死亡的概率 t qx
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新生儿的生存函数
定义： S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系： S(x) 1 F(x)
与密度函数的关系： f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
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人类寿命生存函数曲线图示
第三章 生命表理论
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本章重点
生命表函数
– 生存函数 – 剩余寿命 – 死亡效力
生命表的构造
– 有关寿命分布的参数模型 – 生命表的起源 – 生命表的构造 – 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
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第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)
特别 x p0 S (x)
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剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
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引入死亡力函数后，可以推出T（x)的概率密度函数， 它是G（x)的导数，表示为g (t )，即
g (t )
G(t)
d dt
t
qx
d dt
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整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望
值(均值),简记
x1
x1
ex E(K (x))
k k px qxk
p k 1 x
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
x1
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2
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剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),
简记
0
e
x
0
ex E(T (x)) t t px xtdt t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
02
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
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人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先 天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子， 死亡效力逐渐下降。
– 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身 体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
– 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体 各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称 这段时期为加速失效期。
（4）Pr(X 60 X 30) Pr(30 X 60) S(30) S(60) 3
Pr(X 30)
S (30)
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剩余寿命
定义：已经活到x岁的人，简记为(x)
还能继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x)。 分布函数 t qx ： x岁的人在x-x+t岁死亡 的概率
k 0
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设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足一年的部分，它是（0，1）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
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整值剩余寿命
剩余寿命与整谷值风剩课件余A 寿命的比较图示
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死亡效力
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死亡效力
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
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整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1)
q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
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生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
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例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求：
– 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； – 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； – 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； – 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
对上式两边从x到x n积分，有
xn
y dy
x
xn
x
s( y)dy s( y)
ln
s( y)
xn x
[ln(x
n)
ln
s(x)]
ln
s(x n) s(x)
ln
npx
故n px
exp(
xn
x y dy) exp(
n
0 xs ds
同样，对于 t
p
x
exp(
t
ds) 0
xs
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
S(x) S(x t)
S(x)
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剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)）， 还能继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x)。
剩余寿命与寿谷风命课件变A 量图示
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剩余寿命
剩余寿命的生存函数 t px x岁的人在x-x+t岁存活的概率