周期函数匚⑴可表示为:a0f T (t) 一' (a n cos n t b n sinn，t)2 n4其中:T2 2 a。
f T(t)dtTT~2T2 2a n f T(t) cosn tdtTT~2T2 2b n f T(t)sin n tdtTT~2傅里叶变换周期函数仲⑴的周期为T1 2TT频率f二〒，角频率•二〒，n为正整数。
周期函数匚⑴的直流分量Td吕J f T(t)dt o f n = nf为各次谐波的2 T T"2频率。
周期函数匸⑴可化为：(三角函数公式：cos(A B) = cosAcosB —sin Asin B)■bof T (t)二 ' A n cos(n t n) dn T其中:即周期函数f T(t)可表示为不同频率成分的正弦函数的和。
其中频率f为基波的频率根据欧拉公式eF = cosv isinv ，有:cos Vsin-32i所以周期函数 f T (t )可表示为：a °严 e 叱+e 』M e 吨-e 』05f T (t)八 Gb n)2nm22i= a十孑(a—ibgn OJ 十 a +ibT T22J f f T (t)cosn ^tdt —i f f T (t)sinn 豹tdtJ J 丄-2 2一T1 1 2= f T (t)(cosn t -isinn t)dt T T_21 丄22f f T (t)cosnotdt+i Jf T (t)sin n 豹tdt2 2 T1 2=f T (t)(cosn 「t isinn t)dtT T~2T=-.f T(t)ein tdtT Tan"b n _ —2 ~TT=-f T(t)e» ptT T_2a n ib n 12 =TC o 二 T 1. f T （t ）dtT~2T. f T （t ）e Jn ldt TTT1f T （t ）e inPt T T"2f T （t ）=c°+瓦 Ge 叱+c 』e 皿）n 取整数时，c 可以合写为一个式子n 为正整数C_nC n1f T（n = 0, 土 1 ,± 2,...）所以有n 为整数非周期函数f(t),所以 -He从而 T ，当 T 一；-七时，二-n > 0。
称式(1)中函数FC-)为函数f(t)的傅里叶变换，式⑵中函数f(t)为函数FC)的傅里叶逆变换。
函数F(「)即为函数f(t)的频谱。
图1是函数y1和y2的函数图。
其中y1=s in(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。
y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
亦即令则因此有1 氐 _ 4=cf ⑴=如0石二”仲F( n ) =」(t)e 」nt dte i wi t Aco1说f(t)=lim L 、F( F)d“t. ： '二丄"F ( n )e i nt d 2蔥f二丄：F( )e i td ■ 2 二F(「)= ,_.;f(t)e 4 t dt(1)f(t)二+ _F ( )e r td ■ ■；f f T (t)e 」Edt d图1谐波分量图图2是偶次谐波的函数图。
图2偶次谐波图图3是偶次谐波的频谱图图3偶次谐波频谱图图4是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图图4偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图傅里叶分析在电路上的应用函数f(t)的傅里叶变换记为F,函数g(t)的傅里叶变换记为Fg(t),即F()= F lf(t) 1 G(.)=F g(t)L 则有傅里叶变换的线性性质F f (t) g(t)l 二：F( ) - G()傅里叶变换的微分性质df(t)FF II dt 二i F(•)傅里叶变换的积分性质tF J(t)dt 二丄F()- 」i O电路上的一个例子。
有一段RLC电路如图5所示求电路的电流i(t),列方程有Ri(t) L 啤丄 ’ gdt =u(t)dt C s函数i(t)的傅里叶变换为IC),函数u(t)的傅里叶变换为U 「),对方程 两边做傅里叶变换，有RIO ) i LI C )求IC-)得U()1R i LicoC求I ( ■)的傅里叶逆变换得1 t. +i(t)—HJd dt代入具体的参数值，即可求得电路的电流i(t)函数的卷积已知函数f(t)，g(t)，则积分h(t)二」f( )g(t- )d.1 nF称为函数f(t)和g(t)的卷积，记为h(t)二f(t)*g(t)按傅里叶变换的定义，有F[f(t)*g(t)] = .」f(t)*g(t)]e_dt 二」」()g(t- )d ]e"dt 二.；.；f()e4'g(t「)e‘—)ddt 二.「( )e* d . _g(t(t—)d(t-)=F恻.F g（t）=F 0 ■ ) * G 0 ■)即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示用傅里叶变换分析电路，可以证明其中s =i「,人=1・甩。
设R s则有G(s) = 2 A c2s 2+二 s +时；Q函数G(s)为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。
A 为放大系数，c为滤波器的截止角频Q 为滤波器的品质因数。
取 R^ = R 2 = 159.155k 1」，G = C 2 = O.Oi'F ， R 3 = R 4 = 10k 1」，贝U A =2， fc =100Hz , 200 -rad /s , Q =1。
函数 G(s)的频谱图如图 7 所示。
U o (s)1R 1R 2 C 1C 2R 2G(1 - A) R 2C 2)s1 R 1R 2C 1C 2G(s)二U o (S)-_■：RR2GC 2c2- . R )R 2C 1C 2图7函数G(s)的频谱图(Q =1)特别的，取R3 = ：:, R^0，则A = 1, Q =0.5，函数G(s)的频谱图如图8所示。
图8函数G(s)的频谱图(Q =0.5)G(s)的半功率点函数G(s)的零极点图如图9所示。
Q 0时极点位于左半平面。
图9函数G(s)的零极点图(A = 1)特别的，当R =R 2，C i 丸2时，。
当A_3时，Q_0，函数G(s)3 — A的零极点位于右半平面。
取A 弋，函数G(s)的零极点图如图10所示。
函数G(s)极点位于右半平面。
取A =1, Q =0.5的参数,当G(s^T 2，求得f = 64.3594Hz 。
即为函数”200-600^500400<300 -200 -100 0Real Part o o O 6 0 5O o o o O £^-10 o图10函数G（s）的零极点图（A = 3）函数G（s）的相频图如图11所示。
图11函数G（s）的相频图将函数G(s)级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。
图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(Q=0.5)由U°(s)二U j(s) ・G(s)，根据卷积定理得u°(t) =5(t) “ g(t)。
在频域上对函数G(s)采样，并对函数G(s)做傅里叶逆变换得g(t) = F-1【G(s)］。
二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数g(t)的图形如图13所示。
对函数U i(t)和函数g(t)做卷积运算，求得函数u o(t)，即通过数字滤波器滤波后的结果。
函数U i(t)和函数U o(t)的图形如图15所示。
图14是函数U i(t)的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。
图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。
函数u o(t)和图6中模拟电路给出的结果是一致的。
图13时域上的传递函数g（t）2-1 6 -II II 丨I I_2 I I. I. L L U L L I I____ '0 0.01 0 02 0.03 0.04 0 05 0 06 0 07 0.00 0.09 0.1图15函数U j(t)和函数U°(t)标准表的计算公式电压表达式：电流表达式：电压有效值电流有效值瞬时有功功率平均有功功率瞬时无功功率平均无功功率视在功率功率因数□0v(t)八V k s i rk( t 1)k 4Q Qi(t)八i k Si n<(4 k)k 4Vrms1rmsNJ[n]p(t)二V(t)i(t)1NPp[n]N ndTq(t)=v(t)i ⑴")唯蔦)S - V rms 1rmscos^ （注曲送）有功电能' p[n] .：tn4无功电能ReactiveE nergy =tLq(t)dt =|jm <厂oO迄 q[ n] xA tn =1视在电能Appare ntEnergy = 0s⑴ dt =ijm z广CO匹 s[n]xAtn T脉冲频率1 度电（P 、Q 、S ）表常数离散傅里叶变换（DFT ）N 4X[k]八 x[n]e离散傅里叶变换的逆变换 (IDFT)1 N 4x[nn [k]ei2nkN奈奎斯特采样定理Ny quist-2f标准表的插值算法定频采样的同步问题需要插值算法。
对采样到的波形分段插值。
一副正弦曲线图用线性分段插值后的图形如下。
将线性分段插值的图像局部放大，如下图所示。
J 耐| J 3 L+UBI I |0時昨利计I 计・屋|撇观也日・甌ll.Fmrq舄j 」fi號4阿-■田I □ * ■« U J |T ±^F 使用三次样条插值算法，得到的图形如下将三次样条插值的图像局部放大，如下图所示。
三次样条插值对于n+1个给定点的数据集 ｛为｝，我们可以用n 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。
如果So (叭 X € [a ；o,Xi]x[X!,T 2]Sji —](£))X C [^n —11表示对函数f 进行插值的样条函数，则样条函数 S x 满足以下条件。
插值特性：S(x)= f(x i )样条相互连接：S i-i ( x i ) = S(x i ), i=1,..., n-1两次连续可导：S'i-i (x i ) = S i (x i )以及 S'i-i (x i ) = S''i (刈,i=1,...,n-1。
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状， 所以对于组成 S 的n 个三次多项式 来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。
但是，插值特性只给出了n + 1个条件，内部数据点给出n + 1 - 2 = n - 1个条件，总计是 4n - 2个条件。
我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。