ΔxΔPx ≈ h ΔxΔPx ΔyΔPy ΔzΔPz ≈ h 3
（1.1.9）
在六维相空间中，一个光子态占有的相空间体积元为：
ΔV相 = ΔxΔPx ΔyΔPy ΔzΔPz ≈ h3
（1.1.10）
这一相空间体积元就称为光子状态相格或相格 三点结论： 1、每个光子都应属于一个相格，但不能确定光子在该相格 中的精确位置 2、同一个相格中具有相同偏振态的光子属于同一光子态 3、同一光子态的光子数称为光子简并度
4、光子态的相干性 2 Δx ) 的光源发出动量为P 的局限于立体 如图（1.1.4），由面积( 角Δθ 内的光子，在 Δθ 很小时，光子动量各测不准量为： ΔPx = ΔPy = P Δθ = hνΔθ （1.1.22） c
ΔPz ≈ Δ P = hΔν c
（1.1.23）
再由（1.1.10）式和上述两式可得相格空间体积
若 τ s → 10 s 或更长，则该能态称为亚稳态
2、受激吸收（Stimulated Absurption）
E2 E1 E2 E1
吸收后
hν
E2 − E1 处于低能级E1的原子在频率为 ν = 的外场作用下，跃 h 迁到高能级E2上并吸收能量：
hν = E2 − E1
单位时间内E1能级上减少的粒子数为：
吸收前
dn1 = −W12 n1 dt
W12 ——受激吸收几率，且有：
W12 = B12 ρ (ν )
（1.2.7）
B12 ——爱因斯坦受激吸收系数
ρ (ν ) ——外辐射场的能量密度
3、 受激辐射（Stimulated Radiation）
E2 E1
hν
激励前
光子，新发射的光子态与激励的光子态相同，即受激辐射与 激励光子是相干光，单位时间内因受激辐射E2能级上减少的 粒子数：
4、一定种类的光子具有一定的偏振态，对应光波场的 偏振方向 5、光子有自旋，自旋量子数为整数，属于玻色子，服 从玻色——爱因斯坦统计，同态光子数不受限制，光 子简并度可以很大
二、光波模式和光子状态相格 （一）、光波的模式 １、自由空间中光波的模式 波动方程的特解之一：单色平面波
E ( r , t ) = E 0 e i 2 πν t − ikr
η 介质折射率
k 不确定值，测不准值，是量子化的
（2）、三维腔
k x = k cos α1
kx = m
π
2a
k y = k cos α 2
ky = n
kz = q
Δk x =
π
k z = k cos α 3
kz
α3 α2
π
l
2b
（1.1.5）
π
2a
k
ky
kx
α1
不确定值： Δk y = 2b
π
（1.1.6）
π π
Δ 相格： k x Δk y Δk z 为基元的小格，即每个模（不考虑偏振态） 所占的波矢空间体积元 空间体积 3 3
Δ k x Δ k y Δk z =
( 2a )( 2b ) l
=
V
（1.1.7）
k 格点:各种可能的k x 、 y 、k z 点
——不考虑偏振态时的模 ① 各个格点与腔内可能存在的 驻波一一对应 ② 坐标原点到各格点的矢量即 为各种可能的 k
ρ (ν ) ——外辐射场的能量密度
三、爱因斯坦关系式
问题：当粒子之间和粒子与腔壁之间的碰撞达到热平衡时，光 场与粒子系统的自发辐射、受激吸收、受激辐射三种过程的能 量交换也达到了平衡，上述各物理量之间的关系如何？怎样建 立能量平衡关系式？ 考虑以下两种平衡：
2
光子群对应的状态数
V相 4π P 2 ΔPV 4πν 2 = = 3 Δν V 3 ΔV相 c
考虑到同一相格内有两个可能的独立偏振态，则总光子态数为：
8πν 2 Nν = 3 ⋅ V ⋅ Δν c
与上节中（1.1.8）式表示的总模数完全一样（ η = 1）由此可知 光子态与光波模是等价的
三、光子简并度
1 Δν
（1.1.17）
2、空间相干性
S1、S2两点的光波场具有 相干性的条件为：
A
P
Δθ
R
S1
L x ΔPz z
ΔxLx ≤λ R
（1.1.18）
Δx
S2
距离光源R处屏上的相干面积： 2 Rλ ⎞ ⎛ （1.1.19） Ac = L2 = ⎜ x ⎟ ⎝ Δx ⎠ L Δθ = x ，由（1.1.18）式得光源的相干面积： 双缝对光源的张角 R 2 2 ⎛ λ ⎞ ( Δx ) = ⎜ ⎟ （1.1.20） ⎝ Δθ ⎠ 结论：要求传播方向（波矢 k ）限于Δθ 内的光波相干，则光源面 2 积必须小于相干面积 ⎛ λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Δθ ⎠
n2 随时间变化的规律：
− t
n2 (t ) = n20 e
式中：
− A21t
= n20 e
τs
A21——自发辐射爱因斯坦系数，表征原子的自发辐射几率。
1 τs = A21
−7
（1.2.5）
τs
——自发辐射的平均寿命也是能级E2的寿命 时称系统能态是稳定的，一般为 10
−4
τs → ∞
∼ 10−8 s
以跃迁几率不为0的二能级系统为例子说明辐射与粒子系统相 互作用的三种过程
1、 自发辐射（Spontaneous Radiation）
处于高能级E2 （激发态）上的原子在没有外场作用时也会 自发地跃迁到低能级E1上，同时释放出能量为 hν = E2 − E1 的光子。 由于自发辐射时单位时间内E2上 减少的粒子与E2能级上的粒子数 n2成正比
由于光子态与光波模等价，因此（*）式表示的光波模密度也 适用于光子态：单位体积内在频率ν 处单位频率间隔内的光子 数等价于模密度：
8πν 2η 3 nν = c3
由黑体辐射的普朗克公式：
8πν 2η 3 1 ⋅ hν ⋅ hν ρ (ν ) = c3 e k BT − 1
k B =1.38062 × 10-23 J / K ——玻耳兹曼常数
1 2
cπ ⎛ m 2 n2 q 2 ⎞ ωmnq = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ η ⎝ 4a 4b l ⎠ 结论：不考虑偏振态的情况下，一组(m、n、q)值 对应一个模，求出(m、n、q)值的数目就可以得到 空腔中的模数
1 2
（二）、波矢空间和模密度 1、波矢空间 ——用 k x 、 y 、 z 作为坐标建立的空间称为波矢空间 k k
2
ν
k=
2π
λ
=
2πνη c
2πη dk = dν c
模密度 nν ——单位体积内在频率ν 处单位频率间隔内的模式数：
Nν 8πν 2η 3 = nν = Vdν c3
（*）
（三）、光子状态相格
光子的运动状态，受量子力学测不准关系制约——微观粒子 的坐标和动量不能同时准确测定，遵循测不准关系：
一维： 三维：
kz
Δk x
（m、n、q）
Δk y
q
π
l
m
Δk z
n
ky
π
2a
kx
π
2b
2、模密度
在第一卦限内，以 k 为半径、 为厚度的壳层内总模数为： dk
⎛ 2πνη ⎞ 2πη dν 1 2个偏振态 2 π⎜ 4π k dk ⎟ 8πη 3ν 2 c ⎠ c Nν = 2 ⋅ 8 Vdν （1.1.8） = ⎝ = 3 3 π c Δk x Δk y Δk z
（1.2.2）
η =1
光子简并度
n= e
1
hν k BT
−1
（1.3.1）
——处于同一状态的光子数 即同一模式的光子数 也即处于同一相格偏振态相同的光子数 光子简并度表示了光的相干性， 越大，相干性越好 n
四、光子的相干性 1、时间相干性
振子（发光原子）发光时间Δt 即激发态寿命，波列长度即相干 长度
3、相干体积
相干面积与相干长度的乘积即为相干体积。光源的相干体积为：
c3 ⎛ λ ⎞ c = 2 Vcs = ⎜ ⎟ 2 ⎝ Δθ ⎠ Δν ν Δν ( Δθ )
2
（1.1.21）
意义：在空间体积 Vc 内各点的光波场都具有相干性。或者说： Δθ Δν 如要求传播方向限于 内并具有频带宽度 的光波相干，则 光源应局限于空间体积 内 Vos
2πν k = ek = ek c λ 2π
（1.1.4）
波矢 k 是该单色平面波的特征矢量：反映光波的传播方向和频率
一个传播方向、一个频率、一个偏振态确定一个光波模式
结论：自由空间中任意模式的光波均可以存在
2、空腔中的模式 矩形腔：
2a × 2b × l
腔内能存在的电磁波必须满足： ① 波动方程 ② ∇i E = 0 ③ 边界条件切向分量为0：y
§1 激光的基本原理
§1 激光的基本原理
§1.1 相干性的光子描述 §1.2 光的受激辐射概念 §1.3 光的受激辐射放大 §1.4 光的自激振荡 §1.5 激光的特性
§1.1 相干性的光子描述
一、光子的基本性质 光具有波粒二象性，光在传播时显示波动特性 （频率、波矢、偏振等）;光与物质相互作用 时显示粒子特性，光子与其它粒子一样具有质 量、动量、能量等。光的波动性与粒子性有着 密切的联系 1、光子的能量：与频率相对应
hν W21 ——受激辐射几率，且有： hν
E2 − E1 ν= 处于高能级E2的原子在频率为 的外场作用下， h 跃迁到低能级E1上，同时发射出一个能量为 hν = E2 − E1 的
E2 E1
激励后
dn2 = −W21n2 dt
（1.2.8）