高三上学期阶段性检测试题数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．函数()()1lg 1x f x x -=+的定义域为A ．()1,-+∞B ．()()1,11,-+∞C ．()()1,00,-+∞D ．()()()1,00,11,-+∞ 2．要得到函数()sin 1y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移π个单位长度D ．向右平移π个单位长度 3．以下四个命题中，真命题的个数是①“若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题 ②00,R αβ∃∈，使得()0000sin sin sin αβαβ+=+③已知命题:p [)30,,0x x x ∀∈+∞+≥，则:p ⌝[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件A ．0B ． 1C ．2D ．34．若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A ．4B ．235 C ．6 D ．3155． 如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ,则=⋅BF AE （ ）A ．3B ．2 CD6.若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为（ ） （A ）1,42k b ==-（B ）1,42k b =-=（C ）1,42k b ==（D ）1,42k b =-=-7．在ABC ∆中，已知4BCA π∠=，BC =3AC =，则sin ABC ∠=ABCD8．函数()1cos (f x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭且0)x ≠的图象可能为9.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面C = （A ） （B ） （C ） （D ）10．设函数()y f x =的定义域为D ，若任取1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足()()122f x f x C +=，则称C 为函数()f x 在D 上的均值．给出下列五个函数：①y x =；②2y x =；③4sin y x =；④ln y x =；⑤2x y =． 则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为A ．①④B ．①③C ．①④⑤D ．①③④⑤第Ⅱ卷（选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11．若3sin 5α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于． 3π23π6π56π12．已知 ，则向量的夹角为________________.13．已知数列的前项和，则 ．14．若正实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为 ． 15．已知等差数列{a n }满足a 1＞0，5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为 ．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A; (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x n x m ωωω-=-=)0(>ω，函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.18．（本题满分12分）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．19．（本题满分12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. （Ⅰ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（Ⅱ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.20 （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，它的前n 项和为n S ，若705=S ，且2272,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证：8361<≤nT .21．（本题满分14分）已知a 为实常数，函数()ln 1x f x a x+=-. （Ⅰ）求函数()f x 的最值； （Ⅱ）设()()g x xf x =（ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；（ⅱ）若函数()g x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一．1-5 CACBD 6-10 ACDAA 二．11． -3/4 ； 12． ； 13． 100； 14．22； 15.21三16.解(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.17.解：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x n m x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-，由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f . 由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ,单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ.（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ， ]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ∴函数()g x 的值域为[.18．由题意得圆心C (1,2)，半径长r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．(2)又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.过P 的圆C 的切线方程y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.19.解：（1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x162米. 则总造价()21624002248280162f x x x x ⨯⎛⎫=⨯++⨯+⨯ ⎪⎝⎭1296100129612960x x ⨯=++ 100129612960x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭129601296038880≥⨯+=（元）， 当且仅当()1000x x x=>，即x =10时取等号. ∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.（2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴81168x ≤≤.设()10081168g x x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭.()281100,16108x g x x ⎡⎤'∈=->⎢⎥⎣⎦时，()g x ∴在81,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴当818x =时(此时16216x =),()g x 有最小值，即()f x 有最小值 81800129601296038882881⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元.20 解：（I ）因为数列{}n a 为等差数列，所以d n a a n )1(1-+=，d n n na S n 2)1(1-+=. 依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧==222275,70a a a S ，即⎩⎨⎧++=+=+)21)(()6(,7010511211d a d a d a d a .……… 3分 解得4,61==d a . 所以数列{}n a 的通项公式)(24*N n n a n ∈+=. ……6分 （II ）证明：由（I ）可得，n n S n 422+= 所以)211(41)2(2142112+-=+=+=n n n n n n S n . ……………………7分)211(41)1111(41......)5131(41)4121(41)311(4111........1111321+-++--++-+-+-=+++++=-n n n n S S S S S T nn n=)2111(4183)2111211(41+++-=+-+-+n n n n . ……………………………10分 因为02111>+++n n ，所以83<n T . ………………………………11分法一：因为0)3111(411>+-+=-+n n T T n n ，即{}n T 是递增数列，所以611=≥T T n .（法二：因为2111+++n n 随n 的增大而减小，所以)2111(4183+++-=n n T n 随n 的增大而增大，即{}n T 是递增数列，所以611=≥T T n 所以8361<≤n T .21.解：（Ⅰ）函数()ln 1x f x a x+=-的定义域为()0,+∞.则()()221ln 1ln x x xx f x x x⋅-+-'==，令()0f x '<得1x >；令()0f x '<，得01x <<； 故()f x 在()0,1上递增，()1,+∞上递减.所以()f x 最大值为()11f a =-，无最小值.（Ⅱ）（ⅰ）()()ln 1g x xf x x ax ==+-， 函数()g x 的定义域为()0,+∞，其导数()1g x a x'=-. ①当0a ≤时，()0g x '>，函数()g x 在()0,+∞上是增函数；②当0a >时，()100g x x a '>⇔<<；()10g x x a'<⇔>. 所以函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.（ⅱ）由（ⅰ）得，当0a ≤时，函数()g x 在()0,+∞上是增函数，不可能有两个零点； 当0a >时，函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，此时1g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()g x 的最大值，若10g a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，则函数()g x 最多有一个零点，不合题意， 所以11ln 0g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得01a <<.因为，211e 1e a a <<<，取1110e e e a a g ⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭，则111,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =；取()2e e e 12ln 122ln 01g a a a a a a ⎛⎫=--+=--<< ⎪⎝⎭，令()()e 22ln 01G a a a a =--<<，则()222e e 20aG a a a a -'=-+=>()01a <<，所以()G a ()0,1上单调递增.所以()()12e 0G a G <=-<，即2e 0g a ⎛⎫<⎪⎝⎭，则21e ,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =， 故函数()g x 有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），且111,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21e ,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上a 的取值范围是()0,1.另解：可知函数()g x 的定义域为()0,+∞，所以()g x 零点的个数等价于()f x 的零点的个数， 由()ln 10x f x a x +=-=得ln 1x a x +=， 令()()ln 10x h x x x +=>，()2ln xh x x-'=， 由()0h x '<得1x >；由()0h x '<，得01x <<；故函数()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减.所以函数()h x 的最大值为()11h =，又0x →时，()ln 1x h x x +=→-∞；x →+∞时，()ln 10x h x x+=>且()ln 10x h x x+=→ 所以当01a <<时，函数()()ln 10x h x x x+=>的图象和y a =有两个交点，即函数()f x 有两个零点，此时()g x 有两个不同的零点，所以a 的取值范围是()0,1.。