高考数学专题讲解：椭圆定义与基本性质第一部分：椭圆的定义与性质第一部分：椭圆的定义与方程推理【椭圆的定义】：到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。

规定：定点为椭圆的交点。

【焦点在x 轴】：如下图所示：规定：①以两个焦点的连线为x 轴；②以两个焦点的连线的中垂线为y 轴。

假设：椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ；两个焦点之间的距离（焦距）为c 2。

如下图所示：左焦点1F 的坐标为)0,(c ，右焦点2F 的坐标为)0,(c 假设：定长为a 2。

椭圆的定义式：a PF PF 221=+。

P 点的坐标),(y x ，1F 点的坐标为22221)()0()]([)0,(y c x y c x PF c ++=-+--=⇒-；P 点的坐标),(y x ，2F 点的坐标为221)()0,(y c x PF c +-=⇒；a y c x y c x a PF PF 2)()(2222221=+-+++⇒=+。

化简：22222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++⇒=+-+++2222222222222)()(44)())(2())((y c x y c x a a y c x y c x a y c x +-++--=++⇒+--=++⇒cx y c x a a cx y c cx x y c x a a y c cx x 2)(4422)(442222222222222-+--=⇒++-++--=+++⇒22222222222)(])([)(44)(4cx a y c x a cx a y c x a cx a y c x a -=+-⇒-=+-⇒-=+-⇒2224222222242222)2(2])[(x c cx a a y c cx x a x c cx a a y c x a +-=++-⇒+-=+-⇒2242222222224222222222x c a y a c a x a x c cx a a y a c a cx a x a +=++⇒+-=++-⇒)()(22222222224222222c a a y a x c a c a a x c y a x a -=+-⇒-=-+⇒1)()()()()(2222222222222222222222=-+⇒--=-+--⇒ca y a x c a a c a a c a a y a c a a x c a 。

假设：222c a b -=。

椭圆的方程：12222=+b y a x 。

左右顶点（与x 轴的交点）：令：⇒±=⇒=⇒=⇒=a x a x ax y 222210左顶点)0,(a -，右顶点)0,(a ；上下顶点（与y 轴的交点）：令：⇒±=⇒=⇒=⇒=b y b y by x 222210上顶点),0(b ，下顶点),0(b -。

如下图所示：长轴：a 2；短轴：b 2。

【焦点在y 轴】：如下图所示：规定：①以两个焦点的连线为y 轴；②以两个焦点的连线的中垂线为x 轴。

假设：椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ；两个焦点之间的距离（焦距）为c 2。

如下图所示：上焦点1F 的坐标为),0(c ，下焦点2F 的坐标为),0(c -。

假设：定长为a 2。

椭圆的定义式：a PF PF 221=+。

P 点的坐标),(y x ，1F 点的坐标为221)()0(),0(c y x PF c -+-=⇒；P 点的坐标),(y x ，2F 点的坐标为22221)()]([)0(),0(c y x c y x PF c ++=--+-=⇒-；a c y x c y x a PF PF 2)()(2222221=+++-+⇒=+。

化简：22222222)(2)(2)()(c y x a c y x a c y x c y x -+-=++⇒=+++-+2222222222222)()(44)())(2())((c y x c y x a a c y x c y x a c y x -++-+-=++⇒-+-=++⇒cy c y x a a cy c cy y x c y x a a c cy y x 2)(4422)(442222222222222--+-=⇒+-++-+-=+++⇒22222222222)(])([)(44)(4cy a c y x a cy a c y x a cy a c y x a -=-+⇒-=-+⇒-=-+⇒2224222222242222)2(2])([y c cy a a c cy y x a y c cy a a c y x a +-=+-+⇒+-=-+⇒2242222222224222222222y c a c a y a x a y c cy a a c a cy a y a x a +=++⇒+-=+-+⇒)()(22222222224222222c a a y c a x a c a a y c y a x a -=-+⇒-=-+⇒1)()()()()(2222222222222222222222=+-⇒--=--+-⇒ay c a x c a a c a a c a a y c a c a a x a 。

假设：222c a b -=。

椭圆的方程：12222=+a y b x 。

左右顶点（与x 轴的交点）：令：⇒±=⇒=⇒=⇒=b x b x bx y 222210左顶点)0,(b -，右顶点)0,(b ；上下顶点（与y 轴的交点）：令：⇒±=⇒=⇒=⇒=a y a y ay x 222210上顶点),0(a ，下顶点),0(a -。

图像：如下图所示：长轴：a 2；短轴：b 2。

第二部分：椭圆的离心率与准线【离心率的定义】：圆锥曲线上一点到焦点的距离与该点到对应准线的距离的比值。

定义式：离心率=圆锥曲线上一点到焦点的距离÷该点到对应准线的距离。

椭圆的离心率的测量值：ac e =。

【椭圆的准线】：（Ⅰ）焦点在x 轴：假设：椭圆的右准线的方程：m x =，左准线的方程：m x -=。

假设：取椭圆上一点)0,(a P （椭圆的右顶点）。

如下图所示：点)0,(a P 到右焦点)0,(c 的距离：c a -；点)0,(a P 到右准线m x =的距离：a m -；根据离心率的定义得到：a m c a e --=；根据离心率的测量值得到：ac e =；⇒=⇒=⇒-=-⇒-=-⇒=--c a m a cm ac a ac cm c a a a m c a c a m c a 222)()(椭圆的右准线为：ca x 2=，椭圆的左准线为：ca x 2-=。

（Ⅱ）焦点在y 轴：假设：椭圆的上准线的方程：m y =，下准线的方程：m y -=。

假设：取椭圆上一点),0(a P （椭圆的上顶点）。

如下图所示：点),0(a P 到上焦点),0(c 的距离：c a -；点),0(a P 到上准线m y =的距离：a m -；根据离心率的定义得到：a m c a e --=；根据离心率的测量值得到：ac e =；⇒=⇒=⇒-=-⇒-=-⇒=--c a m a cm ac a ac cm c a a a m c a c a m c a 222)()(椭圆的上准线为：ca y 2=，椭圆的下准线为：ca y 2-=。

第二部分：椭圆的定义题型【题型一】：已知：椭圆上一点坐标和两个焦点的坐标。

例题一：已知：椭圆C ：12222=+a y b x （0>>b a ），点)3,21(P 为椭圆C 上一点，焦距为32。

求解：椭圆C 的方程。

本题解析：焦距为⇒=⇒=⇒332232c c 上焦点)3,0(1F ，下焦点3,0(2-F ；根据椭圆的定义得到：a PF PF 221=+。

)3,21(P ，2141)33()021(3,0(2211==-+-=⇒PF F ；)3,21(P ，274491241)33()021()3,0(2222==+=++-=⇒-PF F ；22422721221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF ，1343222=-=-=⇒=c a b c 。

所以：椭圆C 的方程：1422=+y x 。

例题二：已知：椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左焦点)0,1(1-F ，右焦点)0,1(2F ，点)22,1(--P 为椭圆C 上一点。

求解：椭圆C 的方程。

本题解析：椭圆C 的左焦点)0,1(1-F ，右焦点)0,1(2F 1=⇒c 。

根据椭圆的定义得到：a PF PF 221=+。

)22,1(--P ，2221)022()11()0,1(2211==--++-=⇒-PF F ；)22,1(--P ，22329214)022()11()0,1(2222==+=--+--=⇒PF F ；2222222322221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF ，1121222=-=-=⇒=c a b c 。

所以：椭圆C 的方程：1222=+y x 。

例题三：2018年高考数学江苏卷第18题：如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点P )213(，焦点)0,3(1-F ，)0,3(2F ，圆O 为直径为21F F 。

（Ⅰ）求椭圆C 以及圆O 的方程。

本题解析：P )213(，)03(1-F 274494112)021()33(221==+=-++=⇒PF ；P )213(，)0,3(2F 2141)021()33(222==-+-=⇒PF ；根据椭圆的定义得到：24222127221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF 。

焦点3)0,3(1=⇒-c F ，⇒=-=-=⇒=1342222c a b a 椭圆的方程：1422=+y x 。

【题型二】：已知垂直与角度，求离心率例题一：已知：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），1F 和2F 为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，21PF PF ⊥，621π=∠F PF 。

求解：椭圆C 的离心率。

本题解析：根据21PF PF ⊥，621π=∠F PF ，焦距c F F 221=得到直角三角形21F PF ，如下图所示：c c c PF c PF =⨯=⨯=⇒=2126sin 226sin 22ππ，c c c PF c PF 32326cos 226cos 11=⨯=⨯=⇒=ππ；根据椭圆的定义得到：a PF PF 221=+，c PF 31=，a c a c c c PF 2)13(232=+⇒=+⇒=⇒-=-=--=-+-=+=⇒132)13(213)13(2)13)(13()13(2132a c 椭圆的离心率：13-=e 。