第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B （小学高年级组）（时间: 2017 年 3 月 11 日 10:00～11:30）一、 填空题（每小题 10 分, 共 80 分）2. 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发, 相向而行, 出发时甲乙两车的速度比为5 : 4 ．出发后不久, 甲车发生爆胎, 停车更换轮胎后继续前进, 并且将速度提高 20%, 结果在出发后 3 小时, 与乙车相遇在 AB 两地中点．相遇后, 乙车继续往前行驶, 而甲车掉头行驶, 当甲车回到 A 地时, 乙车恰好到达甲车爆胎的位置, 那么甲车更换轮胎用了分钟。

3. 在3× 3 的网格中（每个格子是个1×1的正方形）摆放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子, 共有 种不同的摆放方法。

（如果两种放法能够通过旋转而重合, 则把它们视为同一种放置方法）。

4. 小于 1000 的自然数中, 有个数的数字组成中最多有两个不同的数 字。

5. 右图中, ∆ABC 的面积为 100 平方厘米, ∆ABD 的面积为 72平方厘米. M 为CD 边的中点, ∠MHB = 90° . 已知 AB = 20厘米. 则 MH 的长度为 厘米。

6. 一列数 a 1 , a 2 , , a n , , 记 S (a i ) 为 a i 的所有数字之和, 如 S (22) = 2 + 2 = 4 .若 a 1 = 2017 , a 2 = 22 , a n = S (a n −1 ) + S (a n −2 ) , 那么 a 2017等于 。

7. 一个两位数, 其数字和是它的约数, 数字差（较大数减去较小数）也是它的约数, 这样的两位数的个数共有 个。

2 / 108. 如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F 顶点处。

将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 种。

二、 解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 平面上有5 条不同的直线, 这5 条直线共形成 m 个交点, 则 m 有多少个不同 的数值？10. 求能被 7 整除且各位数字均为奇数, 各位数字和为 2017 的最大正整数。

11. 从1001, 1002 , 1003 , 1004 , 1005 , 1006 , 1007 , 1008 , 1009 中任意选出四 个数, 使它们的和为偶数, 则共有多少种不同的选法。

12. 使 3n + 2 不为最简分数的三位数 n 之和。

5n + 1三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 一个正六边形被剖分成 6 个小三角形, 如右图. 在这些小三角形的 7 个顶点处填上 7 个不同的整数. 能否找到一个填法,使得每个小三角形顶点处的3 个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以, 请给出一种填法; 如果不可以, 请说明理由。

14. 7 ×7 的方格网黑白染色, 如果黑格比白格少的列的个数为 m , 黑格比白格多的行的个数为 n , 求 m+n 的最大值。

3 / 10第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B （小学高年级组）详细解答一、 填空题（每小题 10 分, 共 80 分）【解】：原式=2X2+2X4+2X6+…+2X2016=2X2X(1+2+3+…+1008)=2X1008X1009=2034144。

【答】：2034144。

2. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发, 相向而行, 出发时甲乙两车的速度比为 5 : 4 。

出发后不久, 甲车发生爆胎, 停车更换轮胎后继续前进, 并且将速度提高 20%, 结果在出发后 3 小时, 与乙车相遇在 AB 两地中点．相遇后, 乙车继续往前行驶, 而甲车掉头行驶, 当甲车回到 A 地时, 乙车恰好到达甲车 爆胎的位置, 那么甲车更换轮胎用了 分钟。

【解】：设甲车速度为5a ，乙车速度为4a 。

则,甲乙两地距离的一半为12a 。

甲车将速度提高20%之后，甲车速度变为6a ，甲车与乙车速度比变为3:2所以爆胎位置离中点的距离与A 地到中点的距离的比为2:3，也即是爆胎位置和中点之间的距离为8a, A 地到爆胎位置的距离为4a 。

所以，更换轮胎所用时间为：3 - 4aa5aa - 8aa 6aa = 13 15(小时)=52（分钟）。

【答】：甲车更换轮胎所用时间为52分钟。

3. 在3× 3 的网格中（每个格子是个1×1的正方形）摆放两枚相同的棋子, 每个格子最多放一枚棋子, 共有种不同的摆放方法。

（如果两种放法能够通过旋转而重合, 则把它们视为同一种放置方法）。

【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：（1）两个点都在第一行；（3）两个点不在同一行且不相邻；【答】：共有10种不同的摆放方法。

4. 小于1000 的自然数中, 有个数的数字组成中最多有两个不同的数字。

【解】：一位数有10个自然数。

两位数中，十位可能取1~9，个位数可能取0~9，所以有90种可能。

三位数中可以分为两种情况：1）百位数和十位数相同，但与个位数不同，这样的数有9X9=81个；2）百位数和个位数相同，但与十位数不同，这样的数也有9X9=81个；3）个位数和十位数相同，但与百位数不同，这样的数有9X9=81个；4）三位数字均相同，共有9种可能。

综上所述，满足条件的数有10+90+81X3+9=100+243+9=352。

【答】：352个数。

4 / 105 / 10【解】：作DE 垂直于AB 交于E ，作CF 垂直于AB 交于F则：S ⊿ABD =12AB ×DE , S ⊿ABC =12AB ×CF∴S ⊿ABD +S ⊿ABC =12AB ×(DE +CF)∵DE 、MH 和CF 都是AB 的垂线，∴DE ∥MH ∥CF ∵M 是CD 的中点，∴MH 是梯形EFCD 的中位线，从而有：MH=12(DE +CF)=（S ⊿ABD +S ⊿ABC ）/AB=(100+72)/20=8.6(厘米) 【答】：MH 的长度为8.6厘米。

【解】：根据题意，a 3=S(a 2)+ S(a 1)= S(22)+ S(2017)=4+10=14a 4=S(a 3)+ S(a 2)= S(14)+ S(22)=5+4=9，类似地，我们可以算出：a 5=14，a 6=14，a 7=10，a 8=6，a 9=7，a 10=13，a 11=11，a 12=6，a 13=8，a 14=14，a 15=13，a 16=9，a 17=13，a 18=13，a 19=8，a 20=12，a 21=11，a 22=5，a 23=7，a 24=12，a 25=10，a 26=4，a 27=5，a 28=9，a 29=14，a 30=14，a 31=10，a 32=6从中可以找出规律：从a 4项开始，每24（注：28-4=24）个项一次循环，如下：a 4= 9，a 5=14，a 6=14，a 7=10，a 8=6，……a 28= 9，a 29=14，a 30=14，a 31=10，a 32=6，…………∵(2017-4) ÷(28-4)=2013÷24=83余21∴a 2017= a (4+21)= a 25=10【答】：a 2017等于10。

7. 一个两位数, 其数字和是它的约数, 数字差（较大数减去较小数）也是它的约数, 这样的两位数的个数共有个。

【解】：枚举法（10~99）:尾数为0的两位数：10,20,30,40,50,60,70,80,90尾数不为0的两位数：12,21,24,36,42,45,48,54,63,84【答】：这样的两位数的个数共有19 个。

时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点处。

将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种。

【解】：若“华”字确定了摆放位置，则“庚”和“杯”字的位置就确定了。

若“罗”字确定了摆放位置，则“金”和“赛”字的位置就确定了。

∵“华”字和“罗”字各有两种摆法，且可以任意组合，∴不同的摆放方法总共有： 2×2=4 （种）。

【答】：不同的摆放方法总共有 4 种。

6 / 107 / 10二、 解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 平面上有5 条不同的直线, 这5 条直线共形成 m 个交点, 则 m 有多少个不同 的数值？【解】：在5条直线之中，最多的相互平行的直线数量可能有：5、4、3、2、0五种情况。

若五条直线都相互平行，则n=0;若四条直线相互平行，则另外一条直线与这4条直线各有1个交点，即n=4，若最多三条直线相互平行，则交点的个数可能是：6、7或5，依次如下图：若最多两条直线相互平行，则交点的个数可能是：4、6、8、7或9，依次如下图：若没有直线相互平行，则交点的个数可能是：1、5、6、8或10，依次如下图：综上所述，交点个数可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。

共有9个不同的数值。

【答】：n 有9种不同的数值。

10. 求能被7 整除且各位数字均为奇数, 各位数字和为2017 的最大正整数。

【解】：要使整数最大，且每一位数字都是奇数，必须保证整数的位数足够多，且含有尽量多的1。

我们注意到，111111是每个数位均为1且能被7整除的最小数。

又有：2017=6*336+1=6*335+7当有336个111111组成时，因为所有数字之和要是2017，首位数字只能是1，不能被7整除；当有335个111111组成时，前面还需要加上一个正整数，使得它各位数字之和等于7，且这个数最大。

满足这个条件的最大整数是13111。

说明：我们可以用以下方法，构造一个能被7整除且除了首位数之外，其余数字均为1的数列如下：21,490+21=511， 700+511=12115600+511=6111， 7000+6111=13111，35000+6111=41111，70000+41111=111111，70000+41111=111111我们注意到，7000+6111=13111是能被7整除且各位数字之和等于7 的最大正整数。

所以，各位数字和为 2017 的最大正整数13111……11，其中1的个数是335*6+3=2013。

【答】：13111…11（即13后面跟2013个1）。

8 / 1011. 从1001, 1002 , 1003 , 1004 , 1005 , 1006 , 1007 , 1008 , 1009 中任意选出四个数, 使它们的和为偶数, 则共有多少种不同的选法。