esr =
τ +1 = 0.347 K
3-10 设用闭环系统特征多项式
( a ) s3 + 6s 2 + 11s + K ; ( b ) s 4 + 5s3 + 9s 2 + 20s + K ; ( c ) s 5 + 8s 4 + 15s 3 + 32s 2 + 20s + K ;
（1） 确定闭环系统稳定的 K 值范围。 （2） 确定所有特征根位于 σ = 0.5 左侧的 K 值范围。
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0 < K < 66
∴ 0 < K < 29.83 时稳定（K 不可为负） (2)令闭环极点位于 σ = 0.5 以左
（a） 以 s=s1+6=s1－0.5 代入原特征方程
(s1 − 0.5)3 + 6(s1 − 0.5)2 + 11(s1 − 0.5) + k = 0
→ s13 + 4.5s12 + 5.75s1 + K − 4.125 = 0
5
答
k 都不可使全部闭环极点均位于 σ = −0.5 左侧。
案 网
→ s15 + 5.5s14 + 1.5s13 + 20.25s12 − 4.4375s1 + k − 3.40625 = 0
因上式出现负数，故无论如何调节 k 都不可使全部闭环极点均位于 σ = −0.5 左侧。
课
后
(c)
( s1 − 0.5 )
+ 8 ( s1 − 0.5 ) + 15 ( s1 − 0.5 ) + 32 ( s1 − 0.5 ) + 20 ( s1 − 0.5 ) + k = 0
4
ww w. kh
3
(b)
( s1 − 0.5)
4
+ 5 ( s1 − 0.5 ) + 9 ( s1 − 0.5 ) + 20 ( s1 − 0.5 ) + k = 0
传递函数为：
2—2 求题 2—2 图所示滞后网络的传递函数。
课
E o (S ) R1 R2 CS + R2 = Ei (S ) R1 R2 CS + R1 + R2
后
答
R1 + R2 1 E o (S ) = CSE i (S ) + Ei (S ) R1 R2 R1
案 网
设初始条件为零，对上式取拉式变换，得：
r (t )
−
K Ts + 1
c (t )
解：闭环传递函数为： T (s ) =
k Ts + k + 1
闭环时间常数为： T = 稳态响应为
0T k +1稳态响应误差 e ss = r (∞ ) − c(∞ ) = 1 −
∴ c r (t ) =
k +1 k ⎡ T T − T t⎤ t − + e ⎢ ⎥U (t ) k +1 ⎣ k +1 k +1 ⎦
(b) G ( s ) =
2.5 ( s + 1) 10 = , Π 型系统，K=2.5 s ( s + 4 ) s ( 0.25s + 1)
2
ess = 4 ⋅ 0 + 6 ⋅ 0 + 6 ⋅
= 6⋅
3－14 高炮控制系统如图 3－14 所示。要求对 θ i (t ) = 4t 的跟踪误差在 0.2 之内，试
C (s)
而 C ( s ) = K1
K2 R ( s ) 的 C ( ∞ ) = 2 ∴ K1 = 2 s + as + K 2
.c o
且 K 2 = wn = 31.92, a = 2ε wn = 6.893
2
m
−
πε
1−ε 2
∴M p = e
= 63%, t p =
π ωn 1 − ε 2
= 0.916 s
因为无缺项且 ai ,i = 0,3 全为正时稳定
所以稳定
（b） s
4
1 9 5 20
K
s3 s2 s1 s0
K
⎧100 − 5K >0 ⎪ 6 ⎨ ⎪ ⎩K > 0
稳定
s4 s3 s2 s1 s0
课
（c） s
5
1 15
8 32 11
160 − K 8 192 + K K 11 160 − K 121K − 8 192 + K
解：
− 2.18 − 2 QM p = = 0.09 = e 2 π t p = 0.7 = ωn 1 − ε 2 2 en Mp
επ
1−ε 2
∴ε =
π +e Mp
2
2 n
= 0.61, wn =
π tp 1− ε 2
C (s) K2 = 2 ' R ( s ) s + as + K 2
为典型的二阶系统， C ( ∞ ) = 1
稳态响应为
3—5 单位反馈二阶系统单位阶跃响应曲线示于图 3--5。试确定其开环传递函数 G (S ) 。
课
⎛ ⎞ ⎟ 1 k ⎜1 T 1 T 1 ⋅ + ⋅ （2） cr ( s ) = T ( s ) 2 = ⎜ 2− ⎟ s k +1⎜ s k +1 s k +1 s + k +1 ⎟ ⎝ T ⎠
Eo ( S ) R1R2C1C2 S 2 + ( R1C1 + R2C2 ) S + 1 = Ei ( S ) R1 R2C1C2 S 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) S + 1
e' ( s ) −
e ' (s ) = H 1 (s )α 0 (s ) + G1 (s )[α 0 (s ) − α a (s )] α a (s ) = G 2 (s ) e ' (s ) 1 + G2 (s )H 2 (s )
ei
R1
R2 C
解：用于上题一样的方法，可得此网络的传递函数为：
E o (S ) R2 CS + 1 = Ei (S ) R1CS + R2 CS + 1
ww w. kh
eo
da w
c
de R1 e R1 eo + = , e R1 = ei − eo dt R1 R2
.c o
m
2—3 求题 2—3 图所示滞后超前网络的传递函数。
《控制基础》习题解答 第二章
2—1. 求题 2—1 所示超前网络的传递函数。
C
ei
R1
R2
eo
解：可列出右图网络的微分方程：
消中间变量 e R1 ，得到描述输入 ei 与输出 eo 的微分方程：
C
deo R1 + R2 de e + eo = C i + i dt R1 R2 dt R1
CSE o (S ) +
o
求 K 值。
θi ( t ) −
'
2
K = 12
R(s)
−
−
（3）设整个闭环系统 ε = 0.6 ，则 τ = ? 此时 M p , t p , t s 及 esr 又是多少。 解：闭环系统传递函数
T (s) =
C ( s) 1 = 2 , K = 12 R ( s ) s + (τ + 1) s + G ( s )
K (τ + 1) τ +1 wn = 12 = 3.464, ε = ,G (s) = 2wn ⎛ s ⎞ s⎜ + 1⎟ ⎝ τ +1 ⎠
（1） τ = 0 时 ε = 0.144
课
后
（2）当 τ = 2 时，计算 M p , t p , t s 及 esr 。
答
（1）当 τ = 0 时，计算 M p , t p , t s 及 esr 。
案 网
ww w. kh
1 s (s + 1)
3-7 设控制系统如题 3-7 图所示。
τs
da w
为系统 1
s13 s12
1 s1
1 4.5
5.75
K − 4.125
30 − K 4.5
稳定 ⇔ ⎨
→ s14 + 3s13 + 3s12 + 14.25s1 + k − 8.3125 = 0 为系统 1
s14 s13 s12
1 3
3
k − 8.3125
14.25
−1.75
因用系统 1 的劳斯表第一列出现负数，故系统不稳定，可见对原系统。无论如何调节
答
∴ G (S ) =
K 46.76 = S (TS + 1) S (0.041S + 1)
案 网
又由 wn =
w K 1 1 和ξ = ，有 K = n = 46.76, T = = 0.041 2ξ 2ξwn T 2 KT
(a)
ww w. kh
da w
.c o
π
m
t p = 0.1, M p = 0.3