4h ν 3h ν 2h ν hν
2πh ν dν M ν (T )d ν = c 2 e h ν / kT - 1 M (T )d 2hc2 d e hc / kT - 1
3

2h ν 2h ν 4 h 3h ν 2h ν
hν
5
这就是著名的普朗克黑体辐射公式
2h 3 d M (T )d c 2 e h / kT - 1 2πhc 2 dλ M λ (T )d λ = λ5 e hc / λkT - 1
M (T ) M (T )d
0

4
上式常称为斯特藩-玻尔兹曼定律 式中 叫做斯特藩-玻尔兹曼常数， 8 -2 -4 5 . 670 10 W m K 。 其值为

单色辐出度也可表示为随频率的变化，其转化关系为
M λ (T )d λ = -M ν (T )d ν 2 c λ λ = c / ν ⇒d λ = - 2 d ν = - d ν ν c 2 M (T ) M (T ) c
1.4 光的受激辐射
1900 年 , 普朗克用辐射量子化假设成功地 解释了黑体辐射规律,1913年,玻尔提出原子中 电子运动状态量子化假设, 爱因斯坦在此基础 上, 研究了关于光与物质相互作用的问题,他明 确指出,只有自发辐射和光吸收两过程,是不足 以解释普朗克黑体辐射公式的 ,必需引入受激 吸收过程的逆过程 —— 受激发射。他 把光频 电磁场与物质的相互作用划分为三种过程 ---自发发射, 受激吸收和受激发射, 并把它们用 三个爱因斯坦系数加以定量描述。
1、单色幅出度
从热力学温度为T的黑体的单位组面积上，单位时间内， 在波长附近单位波长范围内所辐射的电磁波能量，称 为单色幅射出射度，简称单色幅出度。 ◆单色辐出度也可表示为随频率的变化
2、幅出度
在单位时间内，从温度T的黑体的单位面积上，所幅出的 各种波长的电磁波的能量总和，称为幅射出射度，简称幅出度。
维恩线
o

一.光和物质的相互作用
1. 爱因斯坦粒子模型 爱因斯坦在光量子论的基础上 , 把光频电磁场与物质 的相互作用划分为三种过程----自发发射, 受激吸收和受激 发射, 并把它们用三个爱因斯坦系数加以定量描述。
(1) 模型:(参予与光相互作用的 )粒子只有间距为 hv=E2－E1(E2＞E1) 的二个能级,且它们符合辐射跃迁选择定则。
h
n2 n1
自发辐射是原子在不受外界辐射场控制的情况下自发过程， 因此，大量原子的自发辐射场的相位是无规则分布的，因而是不 相干的。此外，自发辐射场的传播方向和偏振方向也是无规则分 布的。（自发辐射平均地分配在腔内所有的模式上。）
(a)特点:各粒子自发、独立地发射的光子。各光子的方向、
M (T )
瑞利-金斯线
实验曲线
频率从 ν 到 ν+dν 辐射 c 的能量 d ν = 2 d λ λ
2 2 M (T )d 2 kTd 0 c
维恩线
o

瑞丽金斯公式
经典物理困难
Rayleigh-Jeans公式在长波（低频）部分与实验 结果符合得较好，而Wien公式（未讲）则在短波 （高频）端与实验结果符合得很好。
偏振、初相等状态是无规的, 独立的，粒子体系为非相干 光源。(普通光源) (b) 自发发射系数A21 : 设E2上粒子数(密度)为n2 , 时间dt内、单 位体积内经自发发射从E2跃迁到E1的粒子数为 - dn2 则因dn2∝n2 且dn2 ∝dt ∴
dn2 A21 n2 dt
或
1 dn2 A21 n2 dt
dn2 q(t ) h h A21 n2 (t ) h A21 n20 e A21 t q0 e A21 t dt
(f ) A21和激发态平均寿命的关系: 设: t = τ 时 q(τ) = q0 /e 则 : A21=1/ τ 或 τ=1/A21 (1-27)
可见: ①自发发射系数A21等于激发态平均寿命τ的倒数; ② τ可视为粒子系统自发发射发光的持续时间, 即 t ＞τ的光功率 [q(t)＜q0/e] 巳可忽略不计 (g) A21是粒子能级结构的特征量(对一种粒子的每两个 能级来说是常量), 和外电磁场ρ(v,t)(入射光场)无关.
①荧光强度曲线遵从指数律
即: 证实了自发发射光功率按指数律衰减
A21 t
q(t ) q0 e
② 测出荧光寿命τ, 则可 ( 按 A21=1/τ) 求出 ( 自 发发射系数或自发发射几率)A21的数值大小
(i) Amn——从En 跃迁到Em的自发发射几率
E3
E2 E1
E2 E1 h
，即
t = 0 时 n2 = n20
t= t 时刻， E2上粒子数为n2（t）即 t = t 时 n2=n2（t） ∵ E2上粒子数减少的唯一去向是E1 (粒子只有两个能级) ∴ dn2(t) = －dn2=－A21n2(t)dt
dn2(t) = －dn2=－A21n2(t)dt
t dn2 (t ) n20 n2 (t ) 0 A21d t n2
黑体
任何物体都具有不断辐射、吸收、 发射电磁波的本领。辐射出去的电磁波 在各个波段是不同的，也就是具有一定 的谱分布。这种谱分布与物体本身的特 性及其温度有关，因而被称之为热辐射。 为了研究不依赖于物质具体物性的热辐 射规律，物理学家们定义了一种理想物 体——黑体(black body)
黑体辐射
黑体辐射
(b) B12是粒子能级结构的特征量, 它的数值由不同原子
的不同跃迁而定，和外电磁场ρv无关 。
(c)受激吸收跃迁几率W12:同前,与(1-31)比较
1 dn2 W12 B12 v n1 dt
（1-30）
W12的物理意义：——在外来单色能量密度为ρv的光照射 下，单位时间内,由E1能级跃迁到E2能级的粒子数密度占E1能 级总粒子数n1 的百分比;也即E1能级上每一个粒子单位时间内 发生受激吸收而跃迁到E2能级的几率。 可见: W12是单位时间内粒子因受激吸收由E1跃迁到E2 的几率;且与外电磁场ρv有关。 注意: 当B12 一定时，外来光的单色能量密度ρv愈大，受 激辐射几率W12 就愈大。
当波长变短，单色辐出度趋于无穷大，而实验指 出应趋于零。常称为 “紫外灾难”。由于理论与 实验之间的不可调和性，给物理学界带来很大困难。 正如1900年开耳文指出的那样，晴朗的物理学理论 大厦上空飞来“两朵乌云”之一，它动摇了经典物 理理论的基础。
普朗克假设
1) 金属空腔壁中电子的振动可视为一 维谐振子，它吸收或发射电磁波辐 射能量时，其吸收或发射的能量是 不连续的，只能取一些特定的分立 值 2) 吸收或发射的最小基本能量单元— —能量子的能量与振子的频率成正 比，即
(h)例: 荧光实验
光源S 发的光经过会聚透镜 L 会聚到红宝石晶体上，红宝 石中处于基态E1能级的铬离子吸收入射光中的黄光和绿光，被 激发到E3能级，通过无辐射跃迁到达E2能级，然后通过自发辐 射跃迁到E1能级，同时发射频率满足 v E2 E1 的红色荧光，在侧 h 面的的光电管将显示荧光讯号。 停止外部光源照射后, 从示波器上可观察到
(1-25)
关于数字下标的说明(下同): ①单下标----能级的量 [如n2为E2上粒子数(密度)] ②双下标----过程的量, 先初态后末态(如A21表示从E2跃迁 到E1的自发发射系数)
1 dn2 A21 n2 dt
(c) A21的物理意义:
从式(1-25)可知 自发发射几率
从式(1-25)可见, A21是单位时间、单位体积内在E2上所有n2 个粒子中会发生自发发射的粒子所占的比例 , 所以A21是自 发发射的几率。 (d)高能级上粒子数随时间的变化规律: 设 t =0 时刻 ，E2上粒子数为n20
ε = hν
普朗克常数
h = 6.626× 10-34 Js
3) 空腔壁上带电谐振子吸收或发射的能量，只能是 h 的整 数倍，即 n = 1,2,3 E = nh ν
普朗克黑体辐射公式
当带电谐振子与周围电磁 场交换能量时，吸收或发出的 能量以量子化方式进行。 普朗克利用经典统计理论 和上述能量子假设，导出温度 为 T 的黑体，在单位时间、单 位面积上，频率在 +d 范围 内辐射的能量为
n2 ln A21t n20
Hale Waihona Puke ∴n2 (t ) n20 e
A21 t
(1-26)
可见: 高能级E2上粒子数随时间t按指数律衰减。 ( e )自发发射光功率q(t) (即光强与时间)t的关系: ∵ 参予自发发射的每个粒子发射一个光子hv dn ∴ q(t ) h 2 h A21 n2 (t ) h A21 n20 e A21 t q0 e A21 t dt 其中 q0= h v A21n20 是 t =0 时的自发发射光功率 可见: 自发发射光功率随时间 t 亦按指数律衰减 按经典模型，原子的自发跃迁是原子中电子的自发阻尼振荡
(2).在这种模型中的辐射跃迁:
粒子从低能级向高能级跃迁,须吸收光子; hv=E2-E1
从高能级向低能级跃迁, 会发射光子。 hv=E2-E1
E2 E1 h
2. 光频电磁场与物质的三种相互作用过程 (1).自发发射——在无外电磁场作用时,粒子自发地从E2跃迁到 E1,发射光子hv。
E2 E1
M λ (T )d λ = -M ν (T )d ν c λ2 λ = c / ν ⇒d λ = - 2 d ν = - d ν ν c 2 M (T ) M (T ) c
物理学家瑞丽和金斯按 照经典电磁场理论和经 典统计物理进行计算， 得出波长从 到 +d 辐射的能量
2π c M λ (T )d λ = 4 kTd λ λ