（0.1
~
1nm）内，| k
r|
1，可将k
r略去。所以
E Hˆ
E0ecrosEt,它D对 电 E0子co的s作t，用D量
为 er
电偶极矩
5返
二、将电H) 子 跃Dv迁 Er的0 c微os扰t 论 W描ˆ c述os(1)t，W)
vr D E0
看作对原子系统的微扰，它将导致电子发生能级
跃迁。此时系统的哈密顿为
1、半经典理论
E2
如果对光的吸收、受激辐射 和自发辐射的理论处理采用这样 E1
电磁波
的办法：将光波看作电磁波（而
不是看作光子群）, 用电动力学（而不是量子力 学）来描述，对原子系统采用量子力学来描述，
这样的理论习惯上被称为半经典理论。
半经典 光波用电动力学来描述; 半量子 原子用量子力学来描述。
d cos2
1
2
d
s in
cos2 d
1
4
4 0 0
3
wk k
62
| Dkk
|2
E02 (kk
)
(6)
14
三、吸收的跃迁速率(6) t 时，跃迁速率为
Ek
E E0 cost
wk k
62
| Dkk
|2
Ek
E02 (kk )
(6)
此式就是当入射光为平面单色光，即
E E0 cost时，原子吸收光波能量从低能级
Ek
h
Ek 光的自发辐射
24
六、自发辐射系数(2)
nk nk , 或nk nk
吸收和受激辐射的跃迁速率为
wkk Bkk (kk )和wkk Bkk (kk )
nk wkk 单位时间内吸收的光子数
nkwkk 单位时间内受激辐射的光子数
Q Bkk Bkk , nk nk , nk wkk nkwkk
对受激跃迁，有Ek Ek , kk 0
对光波，～101416 Hz, (1)式表明，只有当
kk或 kk时，|Ck(1k) (t) | 才有显著的值。
8
二、电子跃迁的微扰论描述(4)
C (1) k k
(t)
Wk k 2h
e i(kk )t
kk
1
ei(kk )t 1
kk
(1)
( )
高能级 | k 的跃迁速率为
Ek
wk k
4 2e2
3h2
r | rkk
|2
(kk )
Bkk (kk )
(9)
其中，Bkk
4 2e2
3h2
r | rkk
|2
(10)
称为吸收系数。
22
五、吸收系数与受激辐射系数(2)
吸收跃迁速率wkk Bkk (kk ) h
吸收系数Bkk
4 2e2
3h2
振光，即E0的空间取向是随机的，则
13
三、吸收的跃迁速率(5)
在t 时，跃迁速率为
wk k
22
| Dkk
|2
E02 cos2 (kk
)
(5)
Dk k 和E0的夹角 。如果入 射光是非偏振 光，
即E0的空间取向是随机的，则的取值也是随机
的，应该将cos2 取为它对空间各方向的平均值
cos2 1
kk 0 吸收，kk 0 受激跃迁
kk或 kk时，Ck(1k) (t)有显著的值。
9返
三、吸收的跃迁速率(1)
C (1) k k
(t
)
Wkk 2
ei(kk )t 1
kk
ei(kk )t 1
kk
(1)
对吸收，有Ek Ek , kk 0，又 0,
只有(1)式中的第二项起作用。
| Wkk
|2
(kk
)
(3)
相应的跃迁速率为
wk k
d dt
Pkk (t)
22
| Wkk
|2
(kk
)
(4)
Wkk Dkk E0 | Dkk | E0 cos
wkk
22| Dkk
|2 E02 cos2 (kk
)
(5)
其 中 ，是Dk k 和E0的 夹 角 。 如 果 入 射 光 是非 偏
积分：wkk
d
62
|
Dk k
|2
E02 ( ) (kk
)
62
|
Dk k
|2
E02 (kk )
(7)
通常，同实验相联系的量是能量密度( ),
为此，应该寻找E02 ( )与 ( )的关系。
16
w三kk、吸6h收2 |的Dr k跃k |迁2 E速02 (率k(8k))
问题归结为坐标
(7)
rr
r xex
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第二十一讲 光的吸收、受激辐射 与自发辐射
1
目录 一、光的吸收与辐射现象 二、电子跃迁的微扰论描述 三、吸收的跃迁速率 四、跃迁选择定则 五、吸收系数与受激辐射系数 六、自发辐射系数
2
一、光的吸收与辐射现象(1) E2
h
实验表明，在光的照射下，
原子中的电子能吸收光子，从低
23 返
六、自发辐射系数(1)
Ek
吸收系数＝受激辐射系数
h
Bkk Bkk (13)
Ek 光的吸收
自发辐射系数 Akk ?
nk 处于Ek(低能级)的原子数目 Ek
h
nk
处于Ek
(高能级)的原子数目
在温度T 下，由波尔兹曼
h
Ek
h
光的受激辐射
分布率，有
nk nk exp[hkk (kT )] 1 (14) kk (Ek Ek ) h
C (1) k k
(t
)
Wk k 2
e 1 i(kk )t
kk
Ek
(2)
Ek
h
k k的跃迁概率为
光的吸收
Pk k
(t
)
|
C (1) k k
(t
)
|2
| Wkk |2 42
sin 2[(kk )t / 2] [(kk ) / 2]2
(3)
10
三、吸收的跃迁速率(2)
Pkk
(t)
|
C (1) k k
(3)
由244页(6)和(12)式 :
lim
sin 2 x x2
(x),
(ax) (x)
|a|
当光波入射的时间足够长时，即t 时，
Pkk (t)
t
42
| Wkk
|2
((kk
) / 2)
t
22
| Wkk
|2
(kk
)
(3)
12
三、吸收的跃迁速率(4)
当t 时，Pkk (t)
t
22
)
H
Wˆ
cos t , |
(t )
Cnk (t)eiEnt / h | n
n
C (1) k k
(t
)
Wkk 2h
ei(kk )t 1
kk
ei(kk )t 1
kk
(1)
Q | k 是初态，| k 是末态，kk (Ek Ek ) / h,
对吸收，有Ek Ek , kk 0
k跃迁到高能级k 的跃迁速率。
当入射光不是单色光时， Ek 要对(6)式做相应的修正，即 需要对(6)式中的各种频率成分 Ek
E E0()
的贡献求和。
15
三、吸收的跃迁速率(7)
wk k
62
| Dkk
|2
E02 (kk
)
(6)
当入射光包含各种频率成分，即E E0 ( )时，
k k的跃迁速率为(6)式对各种频率成分的
) H
Hˆ 0
) H
系统的波函数满足ih | (t) Hˆ | (t) ,
t
| (t) 可以表示为（200页19式）
| (t) Cnk (t)eiEnt / h | n n
其中，Hˆ 0 | n En | n ，| Cnk (t) |2 为t时刻体系处
于 | n 的概率。目标：用微扰论确定Cnk (t)
4
一、光的吸收与辐射现象(3)
2、光波的电动力学描述
光波是一种电磁波，其电场和磁场强度分别
为E
E0
c os (t
k
r)和B
k
E/
|
k|
当电子的速度v c(光速)时，磁场对电子的
作用远小于电场的作用，故只需考虑电场的作用。
| k | 2 , ~ 400 700nm,所以，在原子尺度
(t)
|2
| Wkk |2 42
sin2[(kk )t / 2] [(kk ) / 2]2
(3)
只有
kk
时，入射光才对Ek Ek
的跃迁有显著贡献。这
种特性称为共振吸收。
或者说，材料对光的吸收
具有选择性。
11
三、吸收的跃迁速率(3)
Pk k
(t )
| Wkk |2 42
t
sin 2[(kk )t / 2] t[(kk ) / 2]2
x, y, z r,,
cos | nlm alm | nl 1, m al1,m | nl 1, m
sinei | nlm bl1,m1 | nl 1, m 1 关键是看
blm | nl | rkk |
1, m nlm
1 | nl
1,
m
1
量子数 的变化
19
四、跃迁选择定则(3)