勒贝格测度公理：
设有实数直线上的一部分集合族 ，使得每一个E ，都 对应一个实数 m（在 上定义了一个实函数 m(E) ，满足
（1）非负性：m(E) 0
（2）可列可加性：如果 E1, E2,..., En ,... 两两不相交，那么 m(E1 E2 ... En ...) m(E1) m(E2 ) ... m(En ) ...
例题 5：对于区间I 有 mI I
3、勒贝格外测度涵义 优点：任何集合都有外测度。
缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。

对外测度加以限制，设法在Rn 中找出某一集合类 ，在 上满足
（1）封闭性： 对某些运算应该封闭；
（2）可数可加性：
m


Ei

m (Ei )
i 1
一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数
集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简
称L外测度或外测度，即

mE inf
| Ii |
E Ii i1
i1
例题 1：有限点集的外测度是0.
例题 2：可数点集的外测度为0.
设E为[0,1]中的全体有理数，则 mE 0
i1 i1
（3）正则性： 包含在 Rn 中的所有有限开区间。
问题：如何从 Rn 中挑出集合类 呢？
如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断 Rn 中 集合属于 的条件即可。
设 E Rn ，如果 E ，由于 Rn 中任何开区间I都属于 ，由 的运算封闭性，则 (I E) , (I ðE) ,
（2）S可测 ðS 可测。
（3）设S1
,
S
可测，则
2
S1
S2 也可测，并且当S1
S2

,对于任
意集合T总有 m T S1 S2 m(T S1) m (T S2 )
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n)可测，则 i1 Si也可测，并且当 Si S j ,
第三章 测度论
引言
§1 外测度
§2 可测集
§3 可测集类
引言：
19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的 局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积 分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所 以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成 为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
↓ 开集
取包含E的那些开集的测度的下确界→外测度
当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度

设E为Rn 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，

i 1
做出它的体积总和 | Ii （| 可以等于 ，不同的区间列
可得到：有理数所成之集是零测集。
Hale Waihona Puke 2、勒贝格外测度性质 （1） m 0 （2）非负性：mE 0
（3）单调性：设 A B，则 mA mB
（4）次可数可加性
m


Ai



m Ai
i1 i1
例题 3：可数个零测积之和集是否为零测集？
例题 4：康托集是零测集。
（4）可列可加性：设{Ei}
是一列互不相交的可测集
m


Ei

mEi
i1 i1
§3 可测集类
1、零测集 凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。 零测集性质： （1）零测度集的任何子集都为零测度集。 （2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。
2、常见可测集
（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合， 且 mI I （2）凡开集、闭集皆可测。
Si

lim
n
Sn
，则
mS

lim
n
mSn
（8）设{Si} 是一列递降的可测集：S1 S2
Sn
令
S

i 1
Si

lim
n
Sn
，则当
mS1

时，
mS

lim
n
mSn
3、勒贝格测度性质
（1）m() 0
（2）非负性：m E 0
（3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB

（6）设{Si} 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m


Si



mSi
i1 i1
推广：设 {Si}是一列可测集，则

Si

，
Si 也是可测集。
i 1
i 1
（7）设{Si} 是一列递增的可测集：S1 S2 Sn
令
S

i 1
（2）有限可加性：如果E1, E2,..., En两两不相交，那么
m(E1 E2 ... En ) m(E1) m(E2 ) ... m(En )
（3）正则性：m([0,1]) 1
该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的 长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度 或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。
i j, 对于任意集合T总有
m
T


n
Si


n
m (T Si )
i1 i1
（4）设 S1, S2 可测，则 S1 S2也可测。
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si 也可测。 i 1
（5）设 S1, S2 可测，则 S1 S2 也可测。
（3）正则性：m([a,b]) b a
问题：是否每一个集合都有测度？
内填外包法（测量不规则图形的面积）→集合E
内填：内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，
即不足近似值。 ↓
↓ 闭集
用来填上E的内部的闭集的测度的上确界→内测度
外包：外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，
即过剩近似值。 ↓
(I E) (I ðE) I , (I E) (I ðE) ,
所以有
mI m(I E) m (I ðE)
（1)
反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于
引理：设 E Rn，则(1)是对 Rn 中任何开区间都成立的充要 条件是对 Rn 中的任何点集T都有
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要 的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理：
设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每 一个E ，都对应一个实数m （在 上定义了一个实函数m(E)
使得
（1）非负性：m(E) 0
mT m(T E) m (T ðE)
§2 可测集
1、勒贝格测度
设E为Rn 中的点集，如果对任一点集T都有
mT m (T E) m (T ðE)
则称E是L可测的，这时E的L外测度 mE 即称为E的L测度， 记为 mE
2、勒贝格测度运算性质
（1）集合E可测 对于A E, B ðE ,总有 m A B mA mB