课时分层作业(九)定积分的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中成立的个数是()
A．0B．1
C．2 D．3
C[由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]
2．关于定积分a＝(－2)d x的叙述正确的是()
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
C[由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]
3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为()
B[由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)d t.]
4．若f(x)d x＝1，g(x)d x＝－3，则[2f(x)＋g(x)]d x＝()
【导学号：31062085】A．2 B．－3
C．－1 D．4
C[[2f(x)＋g(x)]d x＝2f(x)d x＋g(x)d x＝2×1－3＝－1.]
5．若f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x等于()
A．0 B．4
C．8 D．16
D[∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]
二、填空题
6．若[f(x)＋g(x)]d x＝3，[f(x)－g(x)]d x＝1，则[2g(x)]d x＝________.
[解析][2g(x)]d x＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝[f(x)＋g(x)]d x－[f(x)－g(x)]d x
＝3－1＝2.
[答案] 2
7．曲线y＝1
x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为
________.
【导学号：31062086】[解析]如图所示，阴影部分的面积可
[答案]
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
[解析]以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．[答案]66
三、解答题
9．已知，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)d x；(2)(2x2－x＋1)d x.
[解](1)(2x＋x2)d x
＝2x d x＋x2d x
＝2×e2
2＋e3
3
＝e2＋e3
3.
(2)(2x2－x＋1)d x＝
2x2d x－x d x＋1d x，
因为已知，
又由定积分的几何意义知：1d x等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1d x ＝1×e ＝e ， 故
(2x 2－x ＋1)d x
＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2
＋e.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分． (1) 9－x 2d x ；(2) (2x ＋1)d x ；
(3)
(x 3＋3x )d x .
【导学号：31062087】
[解] (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．
其面积为S ＝12·π·32＝9
2π. 由定积分的几何意义知
9－x 2d x ＝9
2π.
(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.
(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，
x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图②.
其面积为S ＝1
2(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知 (2x ＋1)d x ＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)d x＝0.
[能力提升练]
1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)d x的值为()
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
A[由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有
f(x)d x＝－f(x)d x，而f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＝0.] 2．与定积分|sin x|d x相等的是()
C [当x ∈(0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤π，3π2时，sin x ＜0.
∴由定积分的性质可得
3．定积分
x (2－x )d x 的值为________. 【导学号：31062088】
[解析] 因为y ＝
x (2－x )，
所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分x (2－x )d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分x (2－x )d x
＝π
4.
[答案] π
4
4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.
[解析] 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故s ＝1
2×(5＋8)×1＝6.5(m)．
[答案] 6.5
5．如图1-5-5所示，抛物线y ＝1
2x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋1
6π，
求
.
【导学号：31062089】
图1-5-5
[解] 解方程组⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝8，y ＝1
2x 2
，
得x ＝±2.
∴阴影部分的面积为
.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＋16π＝2π＋43.
由定积分的几何意义得，
＝π＋2
3.。