证明 D3D
证明 因为Ddet(aij)所以
同理可证
7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1) ,其中对角线上元素都是aFra bibliotek写出的元素都是0
解
(按第n行展开)
anan2an2(a21)
(2) ;
解将第一行乘(1)分别加到其余各行得
再将各列都加到第一列上得
[x(n1)a](xa)n1
(3) ;
解根据第6题结果有
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
解
2(4)30(1)(1)118
0132(1)81(4)(1)
2481644
(2)
解
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
(3)
解
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(ab)(bc)(ca)
(4)
解
x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3
4 2(1个)
6 26 4(2个)
(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1个)
3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
解含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42
所以含因子a11a23的项分别是
(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
解逆序数为
3 2 (1个)
5 25 4(2个)
7 27 47 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)
(6)1 3(2n1) (2n) (2n2)2
解逆序数为n(n1)
3 2(1个)
5 25 4 (2个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)
(1)
解因为
所以
(2)
解因为
所以
9问取何值时齐次线性方程组 有非零解？
解系数行列式为
令D0得
0或1
于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解
10问取何值时齐次线性方程组 有非零解？
解系数行列式为
(1)3(3)4(1)2(1)(3)
(1)32(1)23
令D0得
02或3
于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解
(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4计算下列各行列式
(1)
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
abcdabcdad1
5证明:
(1) (ab)3;
证明
(ab)3
(2) ;
证明
(3) ;
证明
(c4c3c3c2c2c1得)
(c4c3c3c2得)
(4)
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
(5) xna1xn1an1xan
证明用数学归纳法证明
当n2时 命题成立
假设对于(n1)阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开有
xDn1anxna1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
此行列式为范德蒙德行列式
(4) ;
解
(按第1行展开)
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2
于是
而
所以
(5)Ddet(aij)其中aij|ij|;
解aij|ij|
(1)n1(n1)2n2
(6) ,其中a1a2an0
解
8用克莱姆法则解下列方程组
3xy(xy)y33x2yx3y3x3
2(x3y3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4
解逆序数为0
(2)4 1 3 2
解逆序数为441434232
(3)3 4 2 1
解逆序数为53 23 14 24 1, 2 1
(4)2 4 1 3
解逆序数为32 14 14 3
(5)1 3(2n1) 2 4(2n)