立体几何中的最值问题（二）海红楼二、面积最值问题例7. 如图1所示，边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5的三角形简易遮阳棚，其A 、B 是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD 面积最大?解析： 易知，ΔABC 为直角三角形，由C 点引AB 的垂线，垂足为Q ，则应有DQ 为CQ 在地面上的斜射影，且AB 垂直于平面CQD ，如图2所示.因太阳光与地面成30°角，所以∠CDQ ＝30°，又知在ΔCQD 中，CQ ＝，由正弦定理，有 512＝ 即 QD ＝sin ∠QCD.︒30sin CQ QCD QD∠sin 56为使面ABD 的面积最大，需QD 最大，这只有当∠QCD ＝90°时才可达到，从而∠CQD ＝ 60°. 故当遮阳棚ABC 与地面成60°角时，才能保证所遮影面ABD 面积最大.例8. 在三棱锥A—BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形，二面角A—BC—D ＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

解析：S ΔBAC ＝S ΔBCD ＝a 2为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于S ΔABD 与S ΔACD 的大小，由于ΔABD ≌Δ43ACD ，所以只求S ΔACD 何时面积取最大值即可。

∵S ΔACD ＝asin ∠ACD ，所以当∠ACD ＝90°时面积最大，问题21得解。

解 如图，取BC 中点M ，连AM 、DM ，∴ΔABC 和ΔBCD 都是正三角形，∴∠AMD 是二面角A-BC-D 的平面角，∠AMD ＝φ，又∵ΔABD ≌ΔACD ，且当∠ACD ＝90°时，ΔACD 和ΔABD 面积最大，此时AD ＝a ，在ΔAMD 中，2由余弦定理cos ∠AMD ＝-， 31∴当φ＝π-arccos时，三棱锥A-BCD 的全面积最大。

31点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ΔACD 面积的最大值，间接求得φ角。

例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为。

分析：本题是截面问题中的常见题，设圆锥的轴截面顶角是α，母线长为l ，则截面面积S max =，本题轴截面顶角为1200，∴最大面积为。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈],2[212,0(sin 2122ππαπααl l 21例10、圆柱轴截面的周长L 为定值，求圆柱侧面积的最大值。

分析：设圆柱的底面直径和高分别为d,h,则有：2（d+h ）=L,d+h=L/2,S 侧=πdh ≤π=（当22⎪⎭⎫⎝⎛+h d 162l π且仅当d=h 时取“=”）。

例11、在棱长为1的正方体ABCD —ABCD 中，若G 、E 分别是BB 1、C-1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心。

则四边形BGEF 在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是。

分析：可得四边形BGEF 在前后侧面上的射影相等且等于；在左右41侧面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等且等于，所以射影图8183形面积的最大值为。

83三、体积最值问题例12. 如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)ABC DD 1A 1C 1B 1E FG求三棱锥P—ABC 的体积的最大值.解析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得⊙O 1，AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了. 解： (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1，∵PA ⊥PB ，∴AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心，则OO 1⊥平面⊙O 1， ∵PC ⊥⊙O 1平面，∴OO 1∥PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC ⊥PD. ∴CD 是球的直径.故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P—ABC 的体积V ＝xyz ， 61V 2＝x 2y 2z 2≤()3＝·＝R 6.3613613222z y x ++36127646R 5432∴V ≤R 3. 2734即 V 最大＝R 3. 2734评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质. 四、角度最值问题。

例13. 在棱长为1的正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上的一动点，平面PAD 1和平面PBC 1与对角面ABC 1D 1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.解析：如图.对角面A 1B 1CD ⊥对角面ABC 1D 1，其交线为EF.过P 作PQ ⊥EF 于Q ，则PQ ⊥对角面ABC 1D 1.分别连PE 、PF.∵EF ⊥AD 1，PE ⊥AD 1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ ＝α，同理，∠PFQ ＝β.设A 1P ＝x,(0≤x ≤1)，则PB 1＝1-x.∵EQ ＝A 1P ，QF ＝PB 1，PQ ＝，22∴当0＜x ＜1时，有tan α＝,tan β＝,x22)1(22x -∴tan(α+β)＝＝βαβαtan tan 1tan tan -+)1(22221)1(2222x x x x -⋅--+＝21)21(222---x 而当x ＝0时α＝，tan(α+β)＝tan(+β)＝-cot β＝-＝-，上式仍成立；类似地可以验证.2π2πEA EF12当x ＝1时，上式也成立，于是，当x ＝时，tan(α+β)取最小值-2；当x ＝0或1时，tan(α+β)取最212大值-.2又∵ 0＜α+β＜π， ∴(α+β)max ＝π-arctan 2(α+β)min ＝π-arctan22“动态”立体几何题初探盐城市时杨中学陈晓兵224035本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一、 截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。

例1、已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面积为S,高为h,过C 点作三棱柱的与底面ABC 成α角的截面△MNC,(0<),使MN//AB ，求截面的面积。

2πα<分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线MN 可能在侧面A 1B 上，也可能在A 1B 1C 1上，由此得到两种不同的结果。

解：当交线MN 在侧面A 1B 内（或与A 1B 1重合时），S △MNC =；当MN 在底面A 1B 1C 1内时，arctanαcos SS △MNC =。

∴<<,2342παShαα22sin 3cos 3h B C 1BCNB C 1BC二、 翻折、展开问题图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。

不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。

例2、下图表示一个正方体的展开图，图中AB 、CD 、EF 、GH 这四条直线在原正方体中相互异面的有（）A 2对B 3对C 4对D 5对答：B 。

例3、从三棱锥P —ABC 的顶点沿着三条侧棱PA 、PB 、PC 剪开，成平面图形，得到△P 1P 2P 3，且P 1P 2=P 2P 3；CP P 32AH（1）在棱锥P-ABC 中，求证：PA ⊥BC ，（2）P 1P 2=26，P 1P 3=20，求三棱锥的体积。

分析：（1）由展开的过程可知，A 、B 、C 分别是边P 1P 3、P 1P 2、P 2P 3的中点，故AB=P 2P 3， AC = 2121P 1P 2，∴AB=AC 。

又P 1P 2=P 2P 3，∴在原图中取BC 中点H ，连AH 、PH ，可证AH ⊥BC ，PH ⊥BC ，∴BC ⊥面PAH ，即得PA ⊥BC 。

（2）由（1）知BC ⊥面PAH ，，在立体图中可知，PB=PC=AB=AC=13,BC=10,PH=HA=12, S △PAH=5,∴V=S △PAH ·BC=. 11931119350三、 最值问题立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。

例4、（2002年全国高考）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ，（0<a<）.2（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；分析：（1）MN 的长随着M 、N 的移动而变化，若能建立适当的函数关系，转化成函数问题，便可利用函数知识求解。

略解：(1)过点M 作MO ⊥AB 交AB 于O ，连ON ，由题可得BC=1，AM=2-a ，AC=,∵MO//BC ，∴，∴222a ABAOAC AM BC MO -===MO=,又，∴ON//AF ，同理求得ON=∴22a -AB AOa FBFN =-=222a 在R t △MNO 中，MN=。

21)22()2(22222+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c a （2）由（1）得当a=时，MN min =。

2222例5、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为。

分析：本题是截面问题中的常见题，设圆锥的轴截面顶角是α，母线长为l ，则截面面积S max =，本题轴截面顶角为1200，∴最大面积为。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈],2[212,0(sin 2122ππαπααl l 21例6、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。