非完全信息静态博弈习题
1、考虑下面的Cournot 双头垄断模型。

市场的反需求函数为Q a Q p -=)(，其中21q q Q +=为市场总产量，两个企业的总成本都为()i i i cq q c =，但需求却不确定：分别以θ的概率为高（H a a =）,以θ-1的概率为低（L a a =）,此外，信息也是非对称的：企业1知道需求是高还是低，但企业2不知道，所有这些都是共同知识，两企业同时进行决策。

要求：假定H a 、L a 、θ和c 的取值范围使得所有均衡产出都是正数，试问此博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？
解：
在市场需求为高时，企业1的最优战略为：
()H
H H q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出2
21c q a q H H --= (1) 在市场需求为低时，企业1的最优战略为：
()L L L q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出2
21c q a q L L --=
(2) 企业2的最优战略为 ()()(){}2212211q c q q a q c q q a Max L L H H ----+---θθ
由一阶条件可得：
()()()211*2c
q a q a q L L H H ---+=-θθ (3)
方程(1)、(2)和(3)联立可得：
()()()()6
21311*1c q a q a q L L H H H ------=θθ ()6
22*1c a a q H
L L --+=θθ ()31*2c a a q H
L -+-=θθ
由此可知，企业1的战略()*1*1,L H q q 和企业2的战略*
2q 构成贝叶斯纳什均衡。

2、在下面的静态贝叶斯博弈中，求出所有的纯战略贝叶斯纳什均衡：
（1）自然决定收益情况由博弈1给出还是由博弈2给出，选择每一博弈的概率相等；
（2）参与者1了解到自然是选择了博弈1还是博弈2，但参与者2不知道；
（3）参与者1以相同概率选择T 或B ，同时参与者2选择L 或R;
（4）根据自然选择的博弈，两参与者都得到了相应的收益。

L R
T
B
L R
T B
解：
（1） （B ，L ）
（2） 参与者1在上边博弈时选T ，下边博弈时选B ；
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率>2/3，参与者2选L
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率=2/3，参与者2选L 和选R 无差异
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率<2/3，参与者2选R
（3） 参与者1以相同的概率选T 或选B ；
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率>2/3，参与者2选L
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率=2/3，参与者2选L 和选R 无差异
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率<2/3，参与者2选R
（4） 自然选择上边博弈时，参与者1选T ，参与者2 选L ；
自然选择下边博弈时，参与者1选B ，参与者2 选R ；
3、考虑一个非完全信息性别博弈：假设克里斯和帕特两人已经认识了相当长的一段时间，但克里斯和帕特仍然不能确定对方的支付函数（收益函数）的情况。

如果双方都选择歌剧时
克里斯的支付为c t +2，其中c t 为克里斯的私人信息；双方都去看拳击时帕特的支付为
p t +2，其中p t 为帕特的私人信息。

c t 和p t 相互独立，并服从〔0，x 〕区间上的均匀分布。

两人的战略选择为：克里斯在c t 超过某临界值c 时选择歌剧，否则选择拳击；帕特在p t 超过某临界值p 时选择拳击，否则选择歌剧。

帕特
歌剧 拳击
歌剧
克里斯
拳击
要求：求出该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡解；
解：（1）克里斯以()x c x /-的概率选择歌剧，帕特以()x p x /-的概率选择拳击。

给定帕特的战略，克里斯选择歌剧和拳击的期望支付分别为：
()()c c t x p x p t x p +=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++2012 与
x p x p x p -=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⋅1110 从而当且仅当
c p
x =-〉3t c (1) 时选择歌剧是最优的。

相似地，给定克里斯的战略，帕特选择拳击和选择歌剧的期望支付为
()()p p t x c x c t x c +=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++2012 与
x c x c x c -=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅1110 从而当且仅当
p c
x =-〉3t p (2) 时选择拳击是最优的。

解方程（1）和（2）构成的方程组可得c =p 及
03p 2=-+x p （3）
解此方程可得到克里斯选择歌剧的概率()x c x /-和帕特选择拳击的概率()x p x /-均为 x x 24931++--。